Vorlesungsskript - Mathematik

Hier haben wir, wie oft später, Mengen durch Aussagen definiert: Ist A(x) eine Aussagedie von einer Variable x abhängt (oft x in einer Menge N laufend), so können wir bildenM = {x | A(x)} ,die Menge derjeningen x für die A(x) wahr ist. Betrachtet man dies nur für die Elementevon N, so schreibt manM = {x ∈ N | A(x)} .Beispiele 1.11 (a) N ⊆ Z, aber N ≠ Z.(b) N ∈ {N, Z} und {N} ⊆ {N, Z}, aber N {N, Z}.(c) N ∩ Z = N, N ∪ Z = Z, Z N = {0, −1, −2, −3, . . .}(d) Für jede Menge M gilt∅ ⊆ M, M ⊆ M, M ∪ ∅ = M, M ∩ ∅ = ∅ .Insbesondere ist also die leere Menge Teilmenge jeder Menge!Definition 1.12 Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge ihrer Teilmengen:P(M) = {N | N ⊆ M} .Beispiele 1.13 (a) P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.(b) {N, Z} ⊆ P(Z).Lemma 1.14 Für Mengen L, M, N gilt(a) (L ∩ M) ∩ N = L ∩ (M ∩ N)(b) (L ∪ M) ∪ N = L ∪ (M ∪ N)(c) L ∩ (M ∪ N) = (L ∩ M) ∪ (L ∩ N)(d) L ∪ (M ∩ N) = (L ∪ M) ∩ (L ∪ N)Dies folgt sofort aus 1.3! (Warum?)Bezeichnung 1.15 (All- und Existenzquantoren)Sei M eine Menge und A(x) eine Aussage über x(∈ M)A(x) heißt: Für alle x ∈ M gilt A(x).∀x∈M∃x∈M∃x∈MA(x) heißt: Es existiert ein x ∈ M, so dass A(x) gilt.! A(x) heißt: Es existiert genau ein x ∈ M, so dass A(x) gilt.(Manche Bücher schreiben ∧x∈Mfür∀ bzw.x∈M∨x∈Mfür∃ bzw.x∈MWir schreiben auch oft ∀ x ∈ M : A(x), oder ∃ x ∈ M : A(x), usw.1∨x∈Moder∃1 für ∃! ).x∈M x∈MBeispiele 1.16 (a) ∀x∈Zx > 0 ist richtig.(b) ∃x∈Zx > 0 ist falschist richtig.(c) ∃ !x∈Zx > 0 ist falsch.(d) ∀ (x > 0 ⇒ x ∈ N)x∈Z(e) ∀x∈R(x > 0 ⇒ x ∈ N) ist falsch.6