Vorlesungsskript - Mathematik

Definition 3.15 Ist für eine Menge M und Teilmengen M 1 , M 2 ⊆ MM = M 1 ∪ M 2 mit M 1 ∩ M 2 = ∅ ,so sagt man, dass M die disjunkte Vereinigung von M 1 und M 2 ist. BezeichnungM = M 1∪· M2 .Proposition 3.16 Ist M = M 1∪· M2 mit endlichen Mengen M 1 und M 2 , so ist M endlichund♯M = ♯M 1 + ♯M 2 .Beweis (Genauer genommen ist dies die Definition der Addition von Zahlen aus N 0 )Wir können diese Behauptung wieder mit vollständiger Induktion führen, diesmal übern 2 = ♯M 2 (Beweis: selbst!).Satz 3.17 Sei M eine endliche Menge mit n Elementen, und sei k ∈ N. Die Anzahl derk-Tupel (m 1 , . . . , m k ) mit m i ∈ M und m i ≠ m j für i ≠ j istn!(n − k)!= n · (n − 1) . . . (n − k + 1) .Beweis durch Induktion über k. Für k > n ist die Anzahl offenbar 0. Wir zeigen dieAussage für 0 ≤ k ≤ n.(i) k = 0: Es gibt genau ein Element ( ); andererseits ist n!n! = 1.(ii) Sei die Aussage für k(< n) bewiesen. Dann gibt es n(n − 1) . . . (n − k + 1) Tupel(m 1 , . . . , m k ) wie verlangt. Für die Wahl von m k+1 hat man noch die Menge M −{m 1 , . . . , m k } zur Verfügung.Diese Menge hat n − k Elemente, nach 3.16, denn es istalsoInsgesamt ergeben sich alsoM = {m 1 , . . . , m k } ∪· M {m 1 , . . . , m k } ,n = ♯M = ♯{m 1 , . . . , m k } + ♯(M {m 1 , . . . , m k })= k + ♯(M {m 1 , . . . , m k }) .n · (n − 1) . . . (n − k + 1) · (n − k)= n · (n − 1) . . . (n − k + 1) · (n − (k + 1) − 1)Möglichkeiten für (m 1 , . . . , m k+1 ), was die Behauptung von 3.17 für k + 1 zeigt.18