also v 1 normiert. Sei nun k > 1 und bereits bewiesen, dass (v 1 , . . . , v k−1 ) ein Orthonormalsystemist. Dann ist für j = 1, . . . , k − 1< v k ′ , v j > = < w k , v j > − < w k , v j > ||v j || 2= 0 .Weiter ist v k ′ ≠ 0, da v 1, . . . , v k−1 Linearkombinationen von w 1 , . . . , w k−1 sind, und dieVektoren w 1 , . . . , w k linear unabhängig sind . Nach dem selben Schluss wie oben ist dannv k =v′ knormiert. Es folgt, dass (v ||v k || 1, . . . , v k ) ein Orthonormalsystem ist, und damit linearunabhängig (18.14(b)). Für k = n = dim V muss (v 1 , . . . , v n ) dann auch eine Basis sein(9.23).117
19 Hauptachsentransformation/SpektralsätzeSei (V, ) ein euklidischer Raum und K = R, oder ein unitärer Raum und K = C.Definition 19.1 Ein Endomorphismus φ : V → V heißt selbstadjungiert (bezüglich), wenn für alle v, w ∈ V gilt< v, φ(w) > = < φ(v), w > .Beispiele 19.2 Betrachte R n mit dem Standard-Skalarprodukt . Eine lineare AbbildungA : R n → R n (A ∈ M n (R))ist genau dann selbstadjungiert, wenn A symmetrisch ist. Denn es gilt< x, Ay > = < Ax, y > ∀ x, y ∈ R n⇔ x t Ay = (Ax) t y = x t A t y ∀ x, y ∈ R⇔ A = A t .Für das letzte “⇒” beachte, dass e t iAe j = a ij . Weiter haben wir benutzt, dass offenbarfür einen beliebigen Körper K und Matrizen A ∈ M(m × n, K), B ∈ M(n, r, K) gilt(AB) t = B t A t .∑(b) Genauso folgt: Für C n mit dem Standard-Skalarprodukt < x, y > = x t y = n x i y i istA : C n → C n(A ∈ M n (C))genau dann selbstadjungiert, wenn A hermitesch ist (A = A t ). Beachte, dass A t = A t .Satz 19.3 (Spektralsatz) Sei dim K V = n < ∞ und φ : V → V eine selbstadjungiertelineare Abbildung. Dann gilt∏(a) Es ist χ φ (x) = n (x − λ i ) mit reellen λ 1 , . . . , λ n (“Alle Eigenwerte von φ sind reell”).i=1(b) V besitzt eine Basis (b 1 , . . . , b n ) aus Eigenvektoren für φ.i=1Wir führen den Beweis in mehreren Schritten.Satz 19.4 Ist φ : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus, so sind alle Eigenwertevon φ reell.Beweis Sei v ∈ V {0} und λ ∈ K mit φ(v) = λv. Dann istλ < v, v > = < λv, v > = < φ(v), v >= < v, φ(v) > (da φ selbstadjungiert ist)= < v, λv > = λ < v, v > .Es folgt (λ − λ) < v, v > = 0, wegen < v, v > ≠ 0 also λ = λ, d.h., λ ist reell.118
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Lineare Algebra IProf. Dr. Uwe Jann
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Anschauliche Bilder für n = 2 und
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1 Aussagen, logische Symbole, und M
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Hier haben wir, wie oft später, Me
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2 AbbildungenDefinition 2.1 Seien M
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(b) Für f : R → R, x ↦→ x 3
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wobei [x] := größte ganze Zahl, d
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3 Das Prinzip der vollständigen In
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( nDie Zahlen heißen die Binomialk
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Definition 3.15 Ist für eine Menge
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Beispiele 4.5 (a) Die Verknüpfung
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Bezeichnung 4.9 Für eine Permutati
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5 Ringe und KörperDefinition 5.1 E
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Nach (a) ist also x + 1 = 0 oder x
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6 VektorräumeDie abelschen Gruppen
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W 1 ist ein Untervektorraum, W 2 ni
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Beweis (a): Es istDurch Multiplikat
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Beh. φ −1 (x ′ y ′ ) = φ
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M α heißt auch Streckung (oder Ho
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9 Erzeugendensysteme und Dimension
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Damit folgt auch die zweite Aussage
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(c) B ist maximale linear unabhäng
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Aus dem Steinitzschen Austauschsatz
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φ(λ(α 1 , . . . , α n )) = φ((
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Wir erhalten y = −3z und 4x + 8z
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10 DimensionsformelnSei K ein Körp
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Bemerkung 10.5 Sind V und W isomorp
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Weiter ist für v ∈ V und λ ∈
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Definition 10.13 Sei (v 1 , . . . ,
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↑j − te Spalte(c) Für x = (x 1
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(die φ(e j ) als Spaltenvektoren g
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(= Z i (A) · S k (B) = Skalarprodu
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Beweis: direktes Nachrechnen, oder:
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