Vorlesungsskript - Mathematik

19 Hauptachsentransformation/SpektralsätzeSei (V, ) ein euklidischer Raum und K = R, oder ein unitärer Raum und K = C.Definition 19.1 Ein Endomorphismus φ : V → V heißt selbstadjungiert (bezüglich), wenn für alle v, w ∈ V gilt< v, φ(w) > = < φ(v), w > .Beispiele 19.2 Betrachte R n mit dem Standard-Skalarprodukt . Eine lineare AbbildungA : R n → R n (A ∈ M n (R))ist genau dann selbstadjungiert, wenn A symmetrisch ist. Denn es gilt< x, Ay > = < Ax, y > ∀ x, y ∈ R n⇔ x t Ay = (Ax) t y = x t A t y ∀ x, y ∈ R⇔ A = A t .Für das letzte “⇒” beachte, dass e t iAe j = a ij . Weiter haben wir benutzt, dass offenbarfür einen beliebigen Körper K und Matrizen A ∈ M(m × n, K), B ∈ M(n, r, K) gilt(AB) t = B t A t .∑(b) Genauso folgt: Für C n mit dem Standard-Skalarprodukt < x, y > = x t y = n x i y i istA : C n → C n(A ∈ M n (C))genau dann selbstadjungiert, wenn A hermitesch ist (A = A t ). Beachte, dass A t = A t .Satz 19.3 (Spektralsatz) Sei dim K V = n < ∞ und φ : V → V eine selbstadjungiertelineare Abbildung. Dann gilt∏(a) Es ist χ φ (x) = n (x − λ i ) mit reellen λ 1 , . . . , λ n (“Alle Eigenwerte von φ sind reell”).i=1(b) V besitzt eine Basis (b 1 , . . . , b n ) aus Eigenvektoren für φ.i=1Wir führen den Beweis in mehreren Schritten.Satz 19.4 Ist φ : V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus, so sind alle Eigenwertevon φ reell.Beweis Sei v ∈ V {0} und λ ∈ K mit φ(v) = λv. Dann istλ < v, v > = < λv, v > = < φ(v), v >= < v, φ(v) > (da φ selbstadjungiert ist)= < v, λv > = λ < v, v > .Es folgt (λ − λ) < v, v > = 0, wegen < v, v > ≠ 0 also λ = λ, d.h., λ ist reell.118