Vorlesungsskript - Mathematik

1) 3. Zeile - 1. Zeile ⎛⎞3 2 1 2 2⎝0 1 1 0 3⎠0 1 1 0 32) 3. Zeile - 2. Zeile ⎛⎞3 2 1 2 2⎝0 1 1 0 3⎠0 0 0 0 03) 1. Zeile · 13 ⎛1 2 3⎝1323230 1 1 0 30 0 0 0 0⎞⎠4) 1. Zeile − 2 3· 2. Zeile(12.23.1)⎛⎞1 0 − 1 2− 4 3 3 3⎝0 1 1 0 3 ⎠0 0 0 0 0Dies ist die Zeilenstufenform. Sie entspricht dem Gleichungssystemx 1 − 1 3 x 3 + 2 3 x 4 = − 4 3x 2 + x 3 = 3 .Wir erhalten eine spezielle Lösung x, indem wir zum Beispiel x 3 = x 4 = 0 setzen; durchAuflösen der Gleichungen nach x 1 und x 2 erhalten wir dann x 2 = 3, x 1 = − 4 , also die3spezeille Lösung⎛ ⎞Tatsächlich ist⎛A ⎜⎝− 4 3300⎞⎟⎠ = −4 3⎜⎝− 4 3300⎟⎠.⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞3 2 2⎝0⎠ + 3 ⎝1⎠ = ⎝3⎠ = b .3 3 5Um die gesamte Lösungsmenge L(A, b) zu bestimmen, müssen wir noch den Lösungsraumder homogenen Gleichung Ax = 0 beschreiben. Wegen A ∈ M(3 × 4, R) und rgA = 2 istdim L(A, 0) = 4 − 2 = 2; der Lösungsraum ist also 2-dimensional. Wir können eine Basisbestimmen, indem wir an Stelle von (12.23.1) das homogene System⎛⎞(12.23.2)betrachten. Ausgeschrieben lautet es1 0 − 1 3⎝0 1 1 0 00 0 0 0 0203⎠x 1 − 1 3 x 3 + 2 3 x 4 = 0x 2 + x 3 = 082