Vorlesungsskript - Mathematik

Bemerkung 10.5 Sind V und W isomorphe K-Vektorräume, so ist dim V = dim W .Dies folgt aus 9.10, angewendet auf φ und φ −1 , falls φ : V ∼ → W ein Isomorphismus ist.Lemma/Definition 10.6 Für K-Vektorräume V 1 , . . . , V n definiere den K-Vektorraumn⊕V i = V 1 ⊕ . . . ⊕ V ni=1(direkte Summe der Räume V 1 , . . . , V n ), wie folgt:n⊕ ∏V i = n V i = {(v 1 , . . . , v n ) | v i ∈ V i }i=1als abelsche Gruppe (siehe 4.15), mit der Skalarmultiplikationi=1λ(v 1 , . . . , v n ) := (λv 1 , . . . , λv n ) (λ ∈ K) .Beweis, dass dies einen Vektorraum ergibt: selbst!⊕Satz 10.7 Sind V 1 , V 2 , . . . , V n endlich-dimensionale K-Vektorräume, so auch n V i , undes gilt⊕dim n ∑V i = n dim V i .i=1Beweis Sei zunächst n = 2. Ist (v 1 , . . . , v m ) eine Basis von V 1 und (w 1 , . . . , w n ) eine Basisvon V 2 , so sieht man leicht, dasseine Basis von V 1 ⊕ V 2 bilden. Hieraus folgti=1(v 1 , 0), . . . , (v m , 0), (0, w 1 ), . . . , (0, w n )dim V 1 ⊕ V 2 = m + n = dim V 1 + dim V 2 .Den allgemeinen Fall beweisen wir nun per Induktion.Sei n > 2 und die Aussage für n − 1 bewiesen. Wir haben einen Isomorphismusi=1n⊕i=1( n−1V i∼⊕ =i=1V i)⊕ V n(v 1 , . . . , v n ) ↦→ ((v 1 , . . . , v n+1 ), v n ) .Damit schließen wir(⊕dim n n−1)⊕V i = dim V i ⊕ V ni=1= dim n−1 ⊕V i + dim V n (Fall n = 2)= n−1 ∑i=1i=1∑= n dim V i .i=1dim V i + dim V n52(Induktions-Voraussetzung)i=1