Vorlesungsskript - Mathematik

ist dann orthogonal, und es gilt( ) ( ) ( )T −1 AT = T t AT = 1 1 1 1 2 1 12( ) (1 −1)2 1(1 −1)=21 1 1 3 −1=1 −1 3 11 6 02=0 −2( ) ( )3 0 λ1 0= .0 −1 0 λ 2Ganz entsprechend ergibt sich das Folgende für hermitesche Matrizen.Definition 19.12 Eine Matrix A ∈ M n (C) heißt unitär, wenn giltd.h., A ist invertierbar und A −1 = A t .A t A = E ,Bemerkung 19.13 Dies ist äquivalent dazu, dass die Spalten (v 1 , . . . , v n ) von A eineOrthonormalbasis von C n bilden (bezüglich des unitären Standard-Skalarproduktes< x, y > = x t y).Satz 19.14 Sei A ∈ M n (C) eine hermitesche Matrix. Dann hat A reelle Eigenwerte∏λ 1 , . . . , λ n (das charakteristische Polynom ist χ A (x) = n (x − λ i )), und es gibt eineunitäre Matrix U ∈ M n (C) mit⎛ ⎞λ 1U −1 ⎜AU = ⎝. ..⎟⎠ .λ ni=1Die Beweise von 19.13 und 19.14 sind völlig analog zu denen von 19.9 und 19.10. Insbesonderefinden wir die (im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmte) Matrix U in 19.14, indemwir eine Orthonormalbasis (v 1 , . . . , v n ) von C n aus Eigenvektoren von A konstruieren undfür U die Matrix mit den Spalten v 1 , . . . , v n nehmen.Zur tatsächlichen Bestimmung einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren sind die folgendenBetrachtungen nützlich. Sei (V, ) wieder ein euklidischer Raum und K = R, oderein unitärer Raum und K = C.Definition 19.15 (a) (siehe oben) Für einen Unterraum U ⊆ V heißtdas orthogonale Komplement von U.U ⊥ = {w ∈ V | < u, w >= 0 für alle u ∈ U}(b) Zwei Unterräume U 1 , U 2 ⊆ V heißen orthogonal zueinander, wenn< u 1 , u 2 > = 0 für alle u 1 ∈ U 1 , u 2 ∈ U 2 .Bemerkung 19.16 (a) U ⊥ ist offenbar wieder ein Unterraum von V , denn für w 1 , w 2 ∈U ⊥ , λ, µ ∈ K und u ∈ U gilt< u, λw 1 + µw 2 > = λ < u, w 1 > +µ < u, w 2 > = 0 ,122