Vorlesungsskript - Mathematik

0 Inhalte und Fragestellungen1) Lösungen von linearen Gleichungssystemen: Ist das lineare Gleichungssystemin 4 Variablenx + 2y + 3z + 4w = 12x + 3y + 4z + 5w = 13x + 4y + 5z + 6w = 14x + 5y + 6z + 5w = 1lösbar? Wenn ja, wieviele Lösungen hat es? Welche Struktur hat die Lösungsmenge?Allgemeiner betrachte das Gleichungssystem mit n Variablen und m Gleichungen(m und n beliebig!)a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . +a 1n x n = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . +a 2n x n = b 2.. .a m1 x 1 + . . . +a mn x n = b mFormale Vereinfachung: schreibemit einer (m × n)-Matrix⎛A =⎜⎝Ax = b⎞a 11 . . . a 1n⎟. . ⎠ = (a ij ) i=1,...,mj=1,...,na m1 . . . a mnund Vektoren der Längen (Dimension) n bzw. m⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1b 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟x = ⎝ . ⎠ , b = ⎝ . ⎠ .x n b m2) Formale (und praktische) Sprache: Vektorräume und lineare Abbildungen zwischenihnen. V, W Vektorräume über einem festen Grundkörper K (z.B. K = Roder K = C).Beispiel: R n = {(x 1 , . . . , x n ) | x 1 , . . . , x n ∈ R} ist ein reeller Vektorraum (Vektorraumüber R). Oft schreiben wir die Vektoren auch als Spalten wie oben⎛ ⎞x 1⎜ ⎟⎝ . ⎠x n1