Vorlesungsskript - Mathematik

5 Ringe und KörperDefinition 5.1 Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungenfür die gilt:(i) (R, +) ist eine kommutative Gruppe.(ii) Die zweite Verknüpfung · ist assoziativ.+ : R × R → R· : R × R → R(iii) (Distributivgesetze) Für alle x, y, z ∈ R gilt:(x + y) · z = x · z + y · zx · (y + z) = x · y + x · z .Bemerkungen 5.2 Wir nennen + die Addition des Ringes R, und schreiben 0 für dasneutrale Element von (R, +), und −x für das inverse Element von x in (R, +). Die zweiteVerknüpfung · heißt die Multiplikation von R. Eigentlich hätten wir oben schreibenmüssen(x + y) · z = (x · z) + (y · z) ,aber wir vereinbaren (wie bei Rechnungen mit reellen Zahlen), dass Multiplikationen vorAddition ausgeführt werden. Weiter schreiben wir x − y für x + (−y), und xy für x · y.Definition 5.3 (a) Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativist, d.h., wenn giltx · y = y · x für alle x, y ∈ R .(b) Ein Ring R heißt Ring mit Eins, wenn es ein neutrales Element 1 bezüglich derMultiplikation gibt, d.h., wenn es ein Element 1 ∈ R gibt mit1 · x = x = x · 1 für alle x ∈ R .(c) Ein Ring R heißt trivial, wenn er nur aus der 0 besteht.(d) Ein Körper ist ein nicht-trivialer kommutativer Ring mit Eins, für den (K {0}, ·)eine Gruppe ist. Schreibe auch x y für xy−1 = y −1 x, falls x ∈ K, y ∈ K {0}.Beispiele 5.4 (a) Z mit der üblichen Addition und Multiplikation ist ein kommutativerRing mit Eins. Z ist kein Körper, da (Z{0}, ·) keine Gruppe ist (2 hat z.B. kein Inverses).(b) Q und R sind Körper.(c) Bei der Matrizenrechnung werden wir später nicht-kommutative Ringe kennenlernen.Lemma 5.5 In einem Ring mit Eins ist die 1 eindeutig.Beweis Seien 1, 1 ′ ∈ R mit1 · x = x · 1 = x = 1 ′ · x = x · 1 ′ ∀ x ∈ R .24