Vorlesungsskript - Mathematik

welches U 1 beschreibt). Entsprechend für U 2 .Wir schließen diesen Abschnitt mit der folgenden wichtigen Eigenschaft von Basen.Satz 9.33 (universelle Eigenschaft einer Basis) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum,und sei (v 1 , . . . , v n ) eine Basis von V . Sei W ein weiterer K-Vektorraum. Zu jedem n-Tupel(w 1 , . . . , w n ) von Vektoren w i ∈ W gibt es dann eine eindeutig bestimmte lineare Abbildungψ = φ (v 1,...,v n)(w 1 ,...,w n) : V → Wmit ψ(v i ) = w i .(Wir können also die Bilder auf einer Basis beliebig vorgeben. Dies verallgemeinert 9.27/28,welches der Spezialfall V = K n und (v 1 , . . . , v n ) = (e 1 , . . . , e n ) von 9.33 ist. Tatsächlichist φ (e 1,...,e n )(w 1 ,...,w n ) nach 9.33 dann φ (w 1 ,...,w n ) nach 9.28).1. Beweis Eindeutigkeit: Gilt ψ(v i ) = w i für alle i = 1, . . . , n, so ist ψ hierdurch bestimmt,∑da (v 1 , . . . , v n ) ein Erzeugendensystem ist: Für v ∈ V gilt v = n α i v i mit α 1 , . . . , α n ∈ K,und es muss gelteni=1( n)∑ ∑ψ(v) = ψ α i v i = n ∑α i ψ(v i ) = n α i w i .i=1i=1i=1Existenz: Definiere ψ durch diese Formel! Wegen 9.26 ist die Darstellung∑v = n α i v i (α i ∈ K)i=1eindeutig, d.h., die α i sind eindeutig, und wir setzen mit diesen eindeutigen α i∑ψ(v) = n α i w i .i=1Wir müssen noch zeigen, dass ψ linear ist. Dies kann man direkt aus der Definitionnachrechnen; ein anderer Beweis ergibt sich so: Nach Definition ist das DiagrammψV W∼φ v=φ (v1 ,...,vn)φ (w1 ,...,wn)=φ wK nkommutativ, d.h., es istDamit folgt, dass ψ = φ w ◦ φ −1vlinear ist.ψ ◦ φ v = φ w .2. Beweis Definiere ψ durch ψ = φ w ◦ φ −1v .49