Vorlesungsskript - Mathematik

(c) B ist maximale linear unabhängige Teilmenge.Zur Erklärung: “minimal” in (b) heißt, dass keine echte Teilmenge B ′ B Erzeugendensystemist, und “maximal” in (c) heißt, dass keine echte größere Menge B ′ B linearunabhängig ist.Beweis der Äquivalenz:(a) ⇒ (b): Es gelte (a). Dann ist B ein Erzeugendensystem. Angenommen, B ist nichtminimal. Aus Beobachtung 9.11 folgt dann, dass B linear abhängig ist – Widerspruch!(b) ⇒ (c): Es gelte (b). Angenommen B ist linear abhängig. Dann gibt es paarweiseverschiedene v 1 , . . . , v n ∈ B, und α 1 , . . . , α n ∈ K, nicht alle null, mitn∑α i v i = 0 .i=1Sei etwa α j ≠ 0 für j ∈ {1, . . . , n}. Dann ist alsov j = − n ∑i=1i≠jα iα j· v i ∈ ,und damit auch B {v j } ein Erzeugendensystem (Beweis: selbst!), im Widerspruch zu(b). Also ist B linear unabhängig.Angenommen, B ist nicht maximal linear unabhängig. Dann gibt es ein v ∈ V , mitv /∈ B, so dass B ∪· {v} linear unabhängig ist. Dass ist ein Widerspruch dazu, dass BErzeugendensystem ist (so dass v ∈ K ).(c) ⇒ (a): Es gelte (c). Angenommen, B ist kein Erzeugendensystem. Dann gibt es einv ∈ V mit v /∈ K , und nach Lemma 9.15 ist B ∪· {v} linear unabhängig – Widerspruchzur Maximalität von B!Beispiele 9.17 (a) {e 1 , . . . , e n } ist eine Basis von K n (da Erzeugendensystem nach 9.9und linear unabhängig nach 9.14 (a)); diese heißt die kanonische Basis von K n .(b) {(1, 1), (−1, 1)} ist eine Basis von R 2 .(c) {(1, 1)}, {(1, 0), (1, 1), (0, 1)} sind keine Basen von R 2 .Wir beweisen nun zwei wichtige Resultate über Basen. Sei V ein K-Vektorraum.Lemma 9.18 (Austauschlemma) Sei B eine Basis von V und E ein Erzeugendensystemvon V . Sei v ∈ B und w ∈ E mit w /∈ K . Dann ist B {v} ∪· {w} wieder eineBasis von V .Beweis Nach Lemma 9.15 ist B {v} ∪· {w} linear unahängig. Aber B {v} ∪· {w} istauch ein Erzeugendensytem: Da B ein Erzeugendensystem ist, gibt es v 1 , . . . , v n ∈ B undα 1 , . . . , α n ∈ K mit w =n ∑i=1v i0 = v und α i0 ≠ 0. Dann istα i v i . Da w /∈ K gibt es ein i 0 ∈ {1, . . . , n} mitv = v i0 = 1α i0w − n ∑42i=1i≠i 0α iα i0v i .