Vorlesungsskript - Mathematik

Beweis (a): Es istDurch Multiplikation mit φ(e) −1 folgt(b) Es istφ(e) = φ(ee) Homom.= φ(e)φ(e)e ′ = φ(e) .φ(x)φ(x −1 ) Homom.= φ(xx −1 ) = φ(e) (a)= e ′Durch Multiplikation mit φ(x) −1 von links folgtφ(x −1 ) = φ(x) −1 .Satz 7.4 Sei φ : G → G ′ ein Gruppenhomomorphismus.(a) Für jede Untergruppe U ⊆ G ist φ(U) eine Untergruppe von G ′ .(b) Für jede Untergruppe U ′ ⊆ G ′ ist φ −1 (U ′ ) eine Untergruppe von G.Beweis (a): Seien x ′ , y ′ ∈ φ(U) ⇒∃x,y∈Uφ(x) = x ′ ∧ φ(y) = y ′ . Dann istx ′ · y ′ = φ(x) · φ(y) φ Homom.= φ(x · y) ∈ φ(U) ,da x · y ∈ U (U Untergruppe). Weiter seien e und e ′ die neutralen Elemente von G bzw.G ′ . Dann ist e ∈ U, also e ′ 7.3(a)= φ(e) ∈ φ(U). Schließlich ist für x ′ = φ(x) ∈ φ(U) wieoben(x ′ ) −1 −1 7.3(b)= φ(x) = φ(x −1 ) ∈ φ(U) ,weil x −1 ∈ U. Nach 3.14 ist φ(U) also Untergruppe.(b): Seien x, y ∈ φ −1 (U ′ ) also φ(x), φ(y) ∈ U ′ . Dann istφ(x · y) φ Homom.= φ(x) · φ(y) ∈ U ′ (U ′ Untergruppe),also x · y ∈ φ −1 (U ′ ). Weiter ist φ(e) = e ′ ∈ U ′ , also e ∈ φ −1 (U ′ ), undφ(x −1 ) 7.3(b)= φ(x) −1 ∈ U ′ (da φ(x) ∈ U ′ ) ,also x −1 ∈ φ −1 (U ′ ). Nach 3.14 ist also φ −1 (U ′ ) Untergruppe.Corollar/Definition 7.5 Sei φ : G → G ′ ein Gruppenhomomorphismus.(a) Dann istim (φ) := φ(G) = {g ′ ∈ G ′ |eine Untergruppe von G ′ und heißt das Bild von φ.(b) Ist e ′ das neutrale Element von G ′ , so ist∃ φ(g) = g ′ }g∈Gker(φ) := φ −1 (e ′ ) = {g ∈ G | φ(g) = e ′ }eine Untergruppe von G und heißt der Kern von φ.32