Vorlesungsskript - Mathematik

12 Lineare GleichungssystemeSei K ein Körper. Für eine Matrix A ∈ M(m × n, K) und einen Vektor b ∈ K m betrachtedas zugehörige lineare Gleichungssystemfür x ∈ K n .Ax = bDefinition 12.1 L(A, b) ⊆ K n sei die Menge der Lösungen dieses Gleichungssystems,alsoL(A, b) := {x ∈ K n | Ax = b} .Satz 12.2 (a) Die Menge L(A, 0) der Lösungen des homogenen linearen GleichungssystemsAx = 0ist ein Untervektorraum in K n .(b) Die Menge L(A, b) der Lösungen des inhomogenen linearen Gleichungssystemsist entweder leer oder von der FormAx = bL(A, b) = v + L(A, 0) := {v + w | w ∈ L(A, 0)} ,wenn v eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist.Beweis (a): 1. Beweis: Seien x, y ∈ L(A, 0) und λ ∈ K. Dann ist Ax = 0 und Ay = 0.Es folgt A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0 und A(λx) = λ · Ax = λ · 0 = 0. Also sindx + y, λx ∈ L(A, 0).2. Beweis: L(A, 0) = ker(φ A ).(b): Sei v ∈ L(A, b), also Av = b. Wir zeigen L(A, b) = v + L(A, 0):“⊇”: x ∈ L(A, 0) ⇒ Ax = 0 ⇒ A(v + x) = Av + Ax = b + 0 = b ⇒ v + x ∈ L(A, b)“⊆”: y ∈ L(A, b) ⇒ Ay = b ⇒ A(y − v) = Ay − Av = b − b = 0 ⇒ y − v ∈ L(A, 0) ⇒ y =v + (y − v) ∈ v + L(A, 0).Bemerkung 12.3 (a) (Unschöne) Merkregel: “ Die allgemeine Lösung des inhomogenenSystems ist gleich einer speziellen Lösung plus einer allgemeinen Lösung des homogenenSystems”.( ) ( 1 0 0(b) Für b ≠ 0 kann L(A, b) leer sein! Beispiel: Sei A = , b = .0 0 1)Ax = b ⇔ x 1 = 0nicht lösbar!0 = 1Dagegen enthält L(A, 0) immer die 0.Definition 12.4 Sei V ein K-Vektorraum. Ein affiner Teilraum von V ist eine Teilmengevon V von der Formv + W := {v + w | w ∈ W }70