Vorlesungsskript - Mathematik

v i + (−1)v j = 0 eine nichttriviale Linearkombination zu null. Ist weiter I ⊆ {1, . . . , n}eine Teilmenge mit∑α i v i = 0 für α i ∈ K ,so ist auchi∈In∑α iv ′ i = 0 mit α i ′ =i=1{αi i ∈ I0 i /∈ I .Gilt nun (∗), so folgt α ′ i = 0 ∀ i = 1, . . . , n, also auch α i = 0 ∀ i ∈ I. Damit ist M linearunabhängig. Die Rückrichtung ist klar.Bemerkung 9.14 (a) In K n sind die Einheitsvektoren e 1 , . . . , e n linear unabhängig:∑0 = n α i e i = (α 1 , . . . , α n )i=1Definition⇒ α 1 = . . . = α n = 0 .(b) In R 2 sind e 1 , e 2 und v = (1, 1) linear abhängig, denn es gilt(c) In R 3 betrachte die drei Vektorene 1 + e 2 − v = 0 .v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (4, 5, 6), v 3 = (7, 8, 9) .Sind diese linear unabhängig? Wir beobachten: v 2 − v 1 = (3, 3, 3) und v 3 − v 2 = (3, 3, 3).Es folgt v 2 − v 1 = v 3 − v 2 , d.h.,Also sind die Vektoren linear abhängig!v 1 − 2v 2 + v 3 = 0 .Lemma 9.15 Sei V ein K-Vektorraum und M ⊆ V eine linear unabhängige Teilmenge.Ist v ∈ V mit v /∈< M > K , so ist die disjunkte Vereinigung M ∪· {v} ebenfalls linearunabhängig.Beweis Seien v 1 , . . . , v n paarweise verschiedene Vektoren aus M, und seien α, α 1 , . . . , α n ∈K mitαv + α 1 v 1 + . . . α n v n = 0 .Ist α ≠ 0, so folgtv = − n ∑i=1α iα v i ∈ K .Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist α = 0. Es folgtdamit auch α 1 = . . . = α n = 0, wegen der linearen Unabhängigkeit von M.n∑α i v i = 0, undSatz/Definition 9.16 Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge B ⊆ V heißt Basis vonV , wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:(a) B ist Erzeugendensystem und linear unabhängig.(b) B ist minimales Erzeugendensytem.41i=1