Vorlesungsskript - Mathematik

Für M = {v 1 , . . . , v n } schreiben wir auch K statt K . Weiterschreiben wir oft für K , wenn der Körper K vorgegeben ist.Definition 9.2 Seien v 1 , . . . , v n Vektoren in einem K-Vektorraum V und seien α 1 , . . . α n ∈K. Dann heißtn∑α i v i = α 1 v 1 + . . . + α n v ni=1eine Linearkombination der Vektoren v 1 , . . . , v n .Bemerkung 9.3 (a) K besteht also aus allen Linearkombinationen von Vektorenin M.(b) Ist M = {v 1 , . . . , v n } endlich, so ist∑ K = { n α i v i | α i ∈ K ∀ i = 1, . . . , n}i=1Ist nämlich J ⊆ {1, . . . , n} endlich und sind α i ∈ K für i ∈ J, so ist mitα ′ i :={αi i ∈ J0 i ∈ {1, . . . , n} J∑ ∑α i v i = n α iv ′ i .i∈Ji=1Definition 9.4 Eine Teilmenge M eines K-Vektorraums V heißt Erzeugendensystemvon V , wenn V = K . V heißt endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystemgibt.Definition 9.5 Für i = 1, . . . n ist der i-te Einheitsvektor e i ∈ K n definiert alse i := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) , wobei 1 an der i-ten Stelle steht .Es ist also e i = (δ ji ) j=1,...,n , wobeiδ ji :={ 1 , j = i,0 , j ≠ i,das Kronecker-Symbol ist.Beispiele 9.6 (a) {e 1 , e 2 , e 2 } ist ein Erzeugendensysten von R 3 .(b) {e 1 , e 2 } ist ein Erzeugendensystem der x−y-Ebene U = {(x, y, z) ∈ R 3 | z = 0} ⊆ R 3 .Lemma 9.7 Sei φ : V → V ′ ein lineare Abbildung von K-Vektorräumen, und sei M ⊆ Veine Teilmenge. Dann istφ( K ) = K .Insbesondere gilt: Ist M ein Erzeugendensystem von V , so ist φ(M) ein Erzeugendensystemvon im (φ).Beweis Die erste Aussage ist klar, da für v 1 , . . . , v n ∈ M und α 1 , . . . , α n ∈ K gilt∑φ( n ∑α i v i ) = n α i φ(v i ) .i=139i=1