Vorlesungsskript - Mathematik

( )1Ist nun A regulär, so gilt A · · à det A( ) a bBeispiele 14.21 (a) Für A = ∈ Mc d 2 (K) ist( ) d −bà =.−c a= E, also A −1 = 1det A · Ã. .q.e.d.Ist det A = ad − bc ≠ 0, so ist also A ∈ Gl 2 (K) undA −1 = 1 ( ) d −c.det A −b a(b) Fürist⎛1 2⎞3A = ⎝1 0 1⎠3 2 1det A = 6 + 6 − 2 − 2 = 8⎛⎞−2 4 2à = ⎝ 2 −8 2 ⎠2 4 −2Es ist⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞1 2 3 −2 4 2 −2 + 4 + 6 4 − 16 + 12 2 + 4 − 6 8 0 0A·Ã = ⎝1 0 1⎠⎝ 2 −8 2 ⎠ = ⎝ −2 + 2 4 + 4 2 − 2 ⎠ = ⎝0 8 0⎠ .3 2 1 2 4 −2 −6 + 4 + 2 12 − 16 + 4 6 + 4 − 2 0 0 8Die Determinante erlaubt auch das Lösen eines Gleichungssystems(∗)Ax = bmit quadratischer Matrix A ∈ M n (K) (also, x, b ∈ K n ), falls A invertierbar ist. Wirerinnern uns, dass in diesem Fall das System (∗) eindeutig lösbar ist (für jeses b ∈ K n ).Corollar 14.22 (Cramersche Regel) Sei A ∈ M n (K) invertierbar, und seien v 1 , . . . , v ndie Spaltenvektoren von A. Dann wird für b ∈ K n das SystemAx = bgelöst durch den Vektor⎛ ⎞x 1⎜ ⎟x = ⎝ . ⎠ mit x i = det(v 1, . . . , v i−1 , b, v i , . . . , v n )det Ax nfïr i = 1, . . . , n (Beachte, dass det A = det(v 1 , . . . v n )).Beweis Es istx = A −1 b = 1det AÃb ,98