Vorlesungsskript - Mathematik

Ist nun u ∈ V beliebig, so gibt es paarweise verschiedene w 1 , . . . , w m ∈ B und β 1 , . . . , β m ∈∑K mit u = m β j w j .j=1Sind alle w j ≠ v, so ist offenbar u ∈ K . Gibt es ein j 0 ∈ {1, . . . , m} mit w j0 = v,so istu = ∑(1β j w j + β j0 α j0w − ∑)α iα i0v i ∈ Kj≠j 0i≠i 0Satz 9.19 (Basisaustauschsatz von Steinitz) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum,sei B = {v 1 , . . . , v n } eine n-elementige Basis, und sei E ein Erzeugendensystem von V .Sei m ∈ N 0 mit m ≤ n gegeben. Dann existieren m Elemente w 1 , . . . , w m ∈ E, so dasswieder eine (n-elementige) Basis von V ist.{w 1 , . . . , w m , v m+1 , . . . , v n }(man kann also die ersten m Elemente durch Elemente aus E austauschen und erhältwieder eine Basis. Für m = n erhalten wir {w 1 , . . . , w n }).Beweis durch vollständige Induktion über m (≤ n). Für m = 0 ist nichts zu zeigen.Sei die Aussage für m bewiesen, so dass wir eine n-elementige BasisB ′ = {w 1 , . . . , w m , v m+1 , . . . , v n }mit w 1 , . . . , w m ∈ E erhalten. Falls m = n, so ist nichts mehr zu zeigen. Sei m < n.Da B ′ eine Basis ist, also ein minimales Erzeugendensystem, ist B ′ {v m+1 } kein Erzeugendensystem.Es gibt also ein w ∈ E mit w /∈< B ′ {v m+1 } > (denn sonst giltE ⊆ K und damit V = K ⊆ – Widerspruch!). Nachdem Austauschlemma ist B ′ {v m+1 } ∪ {w} = {w 1 , . . . , w m , w, v m+2 , . . . , v n } eine Basis(n-elementig da w /∈ B ′ {v m+1 }), und wir können w m+1 := w setzen.Im Folgenden schreiben wir auch |M| für die Mächtigkeit einer Menge M.Corollar 9.20 Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum.(a) Dann besitzt V eine endliche Basis, und für jede Basis B gilt |B| = dim V . Insbesonderehaben alle Basen die gleiche Mächtigkeit.(b) Für jedes Erzeugendensystem E gilt |E| ≥ dim V .(c) Für jede linear unabhängige Teilmenge F gilt |F | ≤ dim V .Beweis Nach Definition gibt es ein endliches Erzeugendensystem E 0 mit |E 0 | = dim V .Dieses ist dann minimal, also eine Basis. Aus dem Steinitzschen Austauschsatz (mit B =E 0 und m = n folgt:Lemma 9.21 Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Ist E ⊆ V ein Erzeugendensystem,so gibt es eine endliche Teilmenge E ′ ⊆ E, die eine Basis von V ist.Dies zeigt, dass jede Basis B von V endlich ist, denn nach 9.21 enthält B eine endlicheBasis B ′ und wegen der Minimalität von B als Erzeugendensystem ist B ′ = B.43