Vorlesungsskript - Mathematik

und für alle n ≥ m, fallsn∑k=ma k schon definiert ist,∑n+1k=ma k :=n∑a k + a n+1 .k=mDann ist die Summe für alle n ≥ m definiert. Analog für das Produkt.(b) Für l − 1 ≤ m ≤ n giltm∑a k +k=lm∏a k ·k=ln ∑k=m+1n∏k=m+1a k = n ∑a kk=l∏a k = n a k .k=1Satz 3.4 Für alle n ∈ N 0 = {0} ∪ N = {0, 1, 2, 3, . . .} giltn∑k =k=1n(n + 1)2.Beweis mit vollständiger Induktion:Induktionsanfang: Für n = 0 gilt0∑k = 0 =k=10(0 + 1)2.Induktionsschritt: Angenommen, es gilt die Behauptung für n,n∑ n(n + 1)k = .2Dann ist∑n+1k =k=1n∑k=1k + n + 1 (∗)=n(n + 1)2k=1d.h., die Behauptung gilt auch für n + 1.+ n + 1 =n(n + 1) + 2(n + 1)2=(n + 1)(n + 2)2,Definition 3.5 Für n ∈ N wird die Fakultät von n definiert alsn∏n! = k = 1 · 2 · 3 · . . . · nk=1(gesprochen “n-Fakultät”). Insbesondere ist 0! = 1, 1! = 1 und (n + 1)! = n!(n + 1)(Letzteres liefert eine induktive Definition von n!).Definition 3.6 Für n, k ∈ N 0 setze( n=k)k∏j=1n − j + 1j=n(n − 1) . . . (n − k + 1)1 · 2 · . . . · k.15