Vorlesungsskript - Mathematik

φ(λ(α 1 , . . . , α n )) = φ((λα 1 , . . . , λα n ))= λα 1 v 1 + . . . + λα n v n = λ(α 1 v 1 + . . . + α n v n )= λφ((α 1 , . . . , α n )).(a) folgt direkt aus der Definition der linearen Hülle, und (b) folgt direkt aus (a).(c): φ injektiv ⇔ ker(φ) = 0. Letzteres ist aber offenbar äquivalent dazu, dass (v 1 , . . . , v n )linear unabhängig ist.(d) folgt aus (b) und (c).Definition 9.28 Die Abbildung φ aus 9.27 nennen wir auch φ (v1 ,...,v n ).Bemerkung 9.29 (a) Sei ψ : K n → V eine beliebige lineare Abbildung. Dann ist ψ =φ (v1 ,...,v n) für eindeutig bestimmtes Tupel (v 1 , . . . , v n ) von Vektoren in V . Setze nämlichv i := ψ(e i ), wobei e i der i-te Einheitsvektor in K n ist. Dann gilt ψ = φ (v1 ,...,v n ):( n)∑ψ((α 1 , . . . , α n )) = ψ α 1 e ii=1∑= n α i ψ(e i ) (da ψ linear)i=1∑= n α i v ii=1= φ (v1 ,...,v n )((α 1 , . . . , α n )) (Definition).Natürlich gilt auch φ (v1 ,...,v n )(e i ) = v i ; also ist (v 1 , . . . , v n ) eindeutig.(b) Insbesondere folgt mit 9.27 (d):Es gibt eine Bijektion{ } { geordnete BasenIsomorphismen→(v 1 , . . . , v n ) von Vφ : K n → ∼ V(v 1 , . . . , v n ) ↦→ φ (v1 ,...,v n) .}Corollar 9.30 Jeder n-dimensionale K-Vektorraum V ist isomorph zu K n (d.h., es gibteinen Isomorphismus φ : K n ∼ → V ). .Beweis: Es gibt eine Basis (v 1 , . . . , v n ) von V .Bemerkung 9.31 Wohlgemerkt, V ist isomorph zu K n , aber nicht gleich. Betrachtezum Beispiel die Gerade y = x, d.h., die Menge U = {(x, y) ∈ R 2 | y = x} im R 2 .46