Vorlesungsskript - Mathematik

das orthogonale Komplement von V (λ).Lemma 19.6 (a) φ(V (λ)) ⊆ V (λ).(b) φ(V (λ) ⊥ ) ⊆ V (λ) ⊥ .Beweis (a): v ∈ V (λ) ⇒ φ(v) = λv ∈ V (λ).(b) w ∈ V (λ) ⊥ ⇒ < v, w > = 0 ∀ v ∈ V (λ) ⇒ < v, φ(w) > = < φ(v), w > = 0 ∀ v ∈ V (λ)(da φ(v) ∈ V (λ) nach (a)) ⇒ φ(w) ∈ V (λ) ⊥ .Nach Satz 19.15 (Gram-Schmidt) besitzt V (λ) eine Orthonormalbasis (v 1 , . . . , v r ). Diessind alles Eigenvektoren von φ, zum Eigenwert λ.Nach 19.5 (b) induziert φ durch Einschränkung einen Endomorphismus˜φ : V (λ) ⊥ → V (λ) ⊥v ↦→ φ(v) .Es ist V (λ) ≠ 0 und daher V (λ) ⊥ ≠ V (ist v ≠ 0 in V (λ), so ist v /∈ V (λ) ⊥ , da< v, v > > 0). Mit Induktion über dim V können wir also annehmen, dass V (λ) ⊥ eineOrthonormalbasis (w 1 , . . . , w s ) aus Eigenvektoren für ˜φ besitzt, mit reellen Eigenwerten;diese sind dann auch Eigenvektoren von φ. Der Spektralsatz 19.3 folgt also aus demfolgenden Lemma.Lemma 19.7 (v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s ) ist eine Orthonormalbasis von V .Beweis Offenbar bilden diese Vektoren ein Orthonormalsystem (wegen w j ∈ V (λ) ⊥ ist< v i , w j > = 0 ∀ i, j).Es genügt also zu zeigen, dass diese Vektoren V erzeugen (die lineare Unabhängigkeitfolgt aus 18.14 (b)). Sei aber v ∈ V . Dann istr∑w := v − < v, v i > v i ∈ U ⊥ .i=1Denn es ist w orthogonal zu allen v i (vergleiche den Beweis von 18.15), also zu allenLinearkombinationen der v i , also zu allen v ∈ V (λ). Damit ist w Linearkombination derw j , also v Linearkombination von v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s .Wir interpretieren den Spektralsatz für Matrizen:Definition 19.8 Eine Matrix A ∈ M n (R) heißt orthogonal, wenn gilt(19.8.1) A t A = E ,d.h., A ist invertierbar und A −1 = A t .Bemerkung 19.9 Offenbar ist (19.8.1) äquivalent dazu, dass die Spalten (v 1 , . . . , v n ) vonA eine Orthonormalbasis von R n bilden (bezüglich des Standard-Skalarprodukts). Dennes ist⎛ ⎞− v t ⎛ ⎞1 − | |A t ⎜ ⎟A = ⎝ . ⎠ ⎝v 1 . . . v n⎠ = (< v i , v j >) .− vn t − | |120