Vorlesungsskript - Mathematik

9 Erzeugendensysteme und Dimension von Vektorräumeny✻z✻✯yx.x.R 2 : zweidimensionalR 3 : dreidimensionalWie können wir die “Dimension” eines Vektorraums definieren – z.B. die Dimension desVektorraums L aus Beispiel 8.6(b)?Sei K ein Körper (z.B. R oder C).Satz/Definition 9.1 Sei V ein K-Vektorraum und M ⊆ V eine Teilmenge. Dann ist K := {v ∈ V | ∃ n ∈ N und v 1 , . . . , v n ∈ M und α 1 , . . . , α n ∈ Kmit v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + . . . + α n v n }der kleinste Unterraum von V , der M enthält und heißt die lineare Hülle (oder derSpann) von M. Wir sagen auch, dass K von M aufgespannt wird (oder dass Kder von M erzeugte Unterraum ist). Setze = {0}.Beweis der Behauptung: 1): K ist ein Unterraum, denn für v, v ′ ∈ K gibt∑es v 1 , . . . , v n ∈ M und α 1 , . . . , α n ∈ K mit v = n α i v i , sowie v 1, ′ . . . , v m′ ∈ M und∑α 1, ′ . . . α m ′ ∈ k mit v ′ = n α jv ′ j. ′ Daher istj=1i=1Element von K . Weiter ist für α ∈ Kv + v ′ = α 1 v 1 + . . . α n v n + α ′ 1v ′ 1 + . . . + α ′ mv ′ mα · v = α · (α 1 v 1 + . . . + α n v n ) = (αα 1 )v 1 + . . . + (αα n )v nElement von K . Nach dem Unterraumkriterium ist also K ein Unterraum vonV .2): M ⊆ K , denn für v ∈ M ist v = 1 · v ∈ K nach Definition.3): Ist W ⊆ V ein Unterraum mit M ⊆ W , so gilt für v 1 , . . . , v n ∈ M und α 1 , . . . , α n ∈ K∑auch v i ∈ W für alle i = 1, . . . , n, also α i v i ∈ W für alle i und schließlich n α i v i ∈ W , daW Unterraum ist. Also ist K ⊆ W .38i=1