Vorlesungsskript - Mathematik

Zur Eindeutigkeit:Lemma 14.2 Sei det : M n (K) → K eine Abbildung mit der Eigenschaft 14.1 (i). DieEigenschaft 14.1 (ii) ist dann äquivalent zu:(ii’) det(v 1 , . . . , v n ) = 0, falls v i = v j für ein Paar (i, j) mit i ≠ j.Beweis (ii) ⇒ (ii’): Ist v i = v j für i, j mit i ≠ j, so ist der Rang von (v 1 , . . . , v n ) kleinerals n, nach (ii) ist also det(v 1 , . . . , v n ) = 0.(ii’) ⇒ (ii): Ist der Rang von A = (v 1 , . . . , v n ) kleiner als n, so sind v 1 , . . . , v n linearabhängig. Es gibt dann also ein i ∈ {1, . . . , n} mitv i = ∑ j≠iα j v jfür α j ∈ KDann ist nach 14.1(i)(j ∈ {1, . . . , n} {i}).∑det(v 1 , . . . , v n ) = n α j det(v 1 , . . . , v i−1 , v j , v i+1 , . . . , v n )j=1j≠i= 0 nach (ii’)Definition 14.3 Sei V ein K-Vektorraum, und sei m ∈ N.(a) Eine Abbildungϕ : V m → Kheißt (m-)multilinear (oder m-linear), wenn sie linear in jedem Argument ist, d.h., wennfür jedes j ∈ {1, . . . , m} giltϕ(v 1 , . . . , v j−1 , αv j + βv ′ j, v j+1 , . . . , v m )= αϕ(v 1 , . . . , v j−1 , v j , v j+1 , . . . , v m ) + βϕ(v 1 , . . . , v j−1 , v ′ j, v j+1 , . . . , v m )für alle v 1 , . . . , v j−1 , v j , v j, ′ v j+1 , . . . , v m ∈ V und alle α, β ∈ K(äquivalent: Für jedes j ∈ {1, . . . , m} und alle v 1 , . . . , v j−1 , v j+1 , . . . , v m ∈ V ist die AbbildungV → Kv ↦→ ϕ(v 1 , . . . , v j−1 , v, v j+1 , . . . , v m )linear). Man nennt ϕ auch eine Multilinearform, oder m-lineare Form, oder eine m-Form auf V .(b) Eine m-lineare Abbildung ϕ : V m → K heißt alternierend, wenn gilt ϕ(v 1 , . . . , v m ) =0, falls v i = v j für ein Paar (i, j) mit i ≠ j.Bemerkung 14.4 (i) Eine 1-lineare Form ϕ : V → K ist gerade eine Linearform auf V ,also ein Element aus dem Dualraum V ∗ von V .(ii) Eine 2-lineare Abbildungϕ : V × V → K89