Vorlesungsskript - Mathematik

(b) v ≠ 0 ist Eigenvektor zum Eigenwert λ ⇔ (A − λE)v = 0.Definition 17.4 ′ Der Eigenraum von A zum Eigenwert λ istV (λ) = ker(A − λE) .Dies ist also der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems (A − λE)v = 0.Satz 17.5 Sei A ∈ M n (K). Dann gilt für λ ∈ Kλ Eigenwert von A ⇔ det(A − λ E) = 0Beweis: Wir wissen nach 11.19 und 14.17:ker(A − λ E) ≠ 0 ⇔ A − λ E ist kein Isomorphismus⇔ det(A − λ E) = 0 .Definition 17.6 Sei A ∈ M n (K). Das (normierte) charakteristische Polynom von Awird definiert alsχ A (x) = det(xE − A) ∈ K[x] .Dies ist wie folgt gemeint: Wir können z.B. die Leibniz-Formel nehmen und für A = (a ij )definierendet(xE − A) = ∑ σ∈S nsign(σ)(xδ 1σ(1) − a 1σ(1) )(xδ 2σ(2) − a 2σ(2) ) · · · (xδ nσ(n) − a nσ(n) )Dies ist ein wohlbestimmtes Polynom in K[x]. Genauer giltSatz 17.7 (a) χ A (x) ist ein Polynom in K[x] vom Grad n.(b) χ A (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 mita n = 1 (d.h., χ A (x) ist normiert) ,a n−1 = −(a 11 + a 22 + . . . + a nn ) = − n ∑a 0 = (−1) n det(A) .i=1a ii ,Beweis Jeder der Summandensign(σ)(xδ 1σ(1) − a 1σ(1) ) · · · (xδ nσ(n) − a nσ(n) )ist ein Polynom vom Grad ≤ n; also gilt dies auch für χ A (x).Für σ ≠ id ist mindestens ein δ iσ(i) = 0, und damit der obige Term vom Grad ≤ n − 1. Esist dann sogar für ein weiteres j auch δ jσ(j) = 0, denn wäre σ(ν) = ν für n − 1 der Zahlen{1, . . . , n}, so auch für alle Zahlen 1, . . . , n, wegen der Bijektivität von σ. Es ist also∑sign(σ)(xδ 1σ(1) − a 1σ(1) ) · · · (xδ nσ(n) − a nσ(n) )σ≠ id109