Prüfingenieur 34 - Bundesvereinigung der Prüfingenieure für ...

χ 1(t) = χ 1 + χ ϕ
Durch Erweiterung der Elastizitätsgleichung
um die zeitabhängigen Anteile aus Kriechen erhält
man nach [4] [5]
( 1+
ϕ(
t, t ) ) + χ ⋅δ
⋅(
1 + χ⋅ϕ(
t,
t ) )
0 = δ10
+ χ1
⋅δ11
⋅
0 1ϕ
11
0
Die Lösung der Gleichung ergibt sich durch
die Betrachtung zweier Zeitpunkte. Zu Anfang treten
die elastischen Schnittgrößen in voller Größe auf.
Daher gilt weiterhin
δ10
χ . Damit ergibt sich die
1 = −
δ11
zeitliche Veränderung zu
el
χ1ϕ = −
χ
elastisch
1
ϕ(
t,
t0
)
1+
χ⋅ϕ(
t,
t
0
Die von der Zeit abhängige Zwangschnittgröße
beträgt dann
χ ( t)
= χ
1
elastisch
1
⎛ ϕ(
t,
t ⎞ 0 )
⎜1
−
⎟
⎝ 1+
χ⋅ϕ(
t,
t ) ⎠
Der Relaxationskennwert χ hängt vom zeitlichen
Verlauf der Dehnungen ab und kann nach DIN
1045-1 [1] zu 0,8 angenommen werden. Setzt man
nun in diese Gleichung beispielhaft Kriechzahlen für
unterschiedliche Zeitpunkte t ein, ergeben sich folgende
Werte:
elastisch ⎛ 0,
3 ⎞
χ1(
t)
= χ1
⎜1
− ⎟ = χ1
⎝ 1+
0,
8⋅0,
3⎠
elastisch ⎛ 1,
0 ⎞
χ1(
t)
= χ1
⎜1
− ⎟ = χ1
⎝ 1+
0,
8⋅1,
0⎠
elastisch ⎛ 3,
0 ⎞
χ1(
t)
= χ1
⎜1
− ⎟ = χ1
⎝ 1+
0,
8⋅3,
0⎠
Die Werte sind in Abb. 9 durch rote Punkte
markiert. Die gewählten ϕ(t 0,t) sind exemplarische
Kriechbeiwerte für Zeitpunkte nach wenigen Stunden,
zehn Tagen und unendlich unter üblichen Umgebungsbedingungen.
Die blauen Kurven in Abb. 9 stellen die
Schnittgrößenentwicklung bei einer langsamen Stützensenkung
dar. Für den rechnerischen Ansatz wird
vereinfachend angenommen, dass die Auflagerverschiebung
affin zur Kriechverformung ist.
Δs(
∞)
Δs(
t)
= ⋅ϕ(
t,
t0
)
ϕ(
∞,
t )
0
Zum Zeitpunkt t = 0 ist noch keine Lagerverschiebung
und daher auch keine statisch unbestimmte
)
0
elastisch
elastisch
elastisch
⋅0,
76
⋅0,
44
⋅0,
12
MASSIVBAU
44
Der Prüfingenieur April 2009
Schnittgröße vorhanden. Die Verträglichkeit lässt sich
mit dem Ansatz χ 1(t) = χ 1ϕ beschreiben. Aus der mit
dem Kriechansatz erweiterten Elastizitätsgleichung
und δ 10 = Δs(t) folgt
( 1+
ϕ(
t, t ) ) + χ ⋅δ
⋅(
1 + χ⋅ϕ(
t,
t ) )
0 = δ10
+ χ1
⋅δ11
⋅
0 1ϕ
11
0
χ1ϕ Δs(
∞)
ϕ(
t,
t0
) 1
el 1
( t)
= ⋅ ⋅
= χ1
( t)
⋅
δ ϕ(
∞,
t ) 1 + χ⋅ϕ(
t,
t ) 1+
χ⋅ϕ(
t,
t
11
0
Aufgrund der zeitabhängigen Lagerverschiebung
bauen sich im Vergleich zur plötzlichen Stützensenkung
die elastischen Schnittgrößen erst langsam
auf (Abb. 9, gestrichelte Linie). Dementsprechend
steht zum Abbau infolge Kriechen weniger
Zeit zur Verfügung, sodass die im Bauteil verbleibenden
Schnittgrößen nach einer großen Zeitspanne
(t > 1000 d) größer sind als bei einer plötzlichen
Stützensenkung. Die blauen Punkte in Abb. 9 markieren
die rechnerischen Beispielwerte.
χ1ϕ χ1ϕ χ1ϕ elastisch 1
( t)
= χ1
( t)
⋅ = χ1
1+
0,
8⋅0,
3
elastisch 1
( t)
= χ1
( t)
⋅ = χ1
1+
0,
8⋅1,
0
elastisch 1
( t)
= χ1
( t)
⋅ χ1
1 + 0,
8⋅3,
0
4.3 Direkter Zwang infolge abfließender
Hydratationswärme
Da die freiwerdende Hydratationswärme des
Betons relativ langsam abfließt, heizt er sich während
der Erhärtung auf. Dieser Effekt ist um so ausgeprägter,
je massiger das Bauteil, je größer der Zementgehalt
und je größer die Hydratationswärme des Zements
ist.
0
elastisch
elastisch
elastisch
( t)
⋅0,
81
( t)
⋅0,
55
( t)
⋅0,
29
Abb. 11: Entwicklung von Spannung und Dehnung infolge
abfließender Hydratationswärme in einer Bodenplatte
0
)