Prüfingenieur 34 - Bundesvereinigung der Prüfingenieure für ...

Der Bruch ist stets kleiner 1. Je größer hier die
Kriechzahl ϕ(t,t 0) ist, desto mehr nähert sich der
Bruch dem Wert 1,0. Setzt man beispielsweise ϕ(t,t 0)
= 3,0 ein, wird 88 % des elastischen Stützmomentes
aufgebaut (Momentenverläufe in Abb. 16). Die Systemumlagerung
infolge Kriechen führt also dazu,
dass nahezu das volle elastische Stützmoment des
Durchlaufträgers erreicht wird.
4.8 Querschnittsumlagerung eines Druckgliedes
Die Querschnittsumlagerung infolge Kriechen
und Schwinden (Abb. 17) wird beispielhaft an einer
zentrisch gedrückten quadratischen Stütze aus
C30/37 mit 25 cm Kantenlänge und 4Ø25 Beton-
und der Gleichgewichtsbedingung Σ V = 0 ableiten
F = F c + F s
t=
0
0 χ
= wegen
0
1 =
t=
( 1 + χ⋅ϕ(
t,
t ) )
0 = δ10
⋅ϕ(
t,
t0
) + χ1
⋅δ11
⋅ϕ(
t,
t0
) + χ1ϕ
⋅δ11
⋅
0
χ1ϕ =
δ
10
ϕ(
t, t0
) el.
= χ ⋅
ϕ(
t,
t
1
( ) ( )
δ11
1+
χ⋅ϕ(
t,
t0
) 1 + χ⋅ϕ(
t,
t0
)
elastisches
Stützmoment
⋅
Abb. 17: Umlagerung der Schnittkraftverteilung in einer
Stahlbetonstütze
stahlbewehrung berechnet. Zum Zeitpunkt t = t0 wird
eine äußere Kraft F = 1000 kN aufgebracht. Die entstehende
Schnittkraft verteilt sich entsprechend der
Dehnsteifigkeit E · A auf die Materialien Beton und
Stahl. Die Aufteilung bei diesem innerlich statisch
unbestimmten System lässt sich aus der Verträglichkeitsbedingung
Fc
Fs
ε ce = εse
; = ⋅ As
E ⋅ A E
c
c
s
Im vorliegenden Beispiel teilt sich die äußere
Belastung von 1000 kN zum Zeitpunkt t 0 auf eine Beton-
(F c) und Stahlkraft (F s) auf:
0
0
)
MASSIVBAU
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Der Prüfingenieur April 2009
F 1000
Fc
= =
= 831kN
Es
As
200000 19,
6
1+
1+
⋅
E A 31900 605
c
c
Es
As
200000 19,
6
= ⋅F
= ⋅ ⋅831=
169 kN
E A 31900 605
Fs c
c c
Durch Kriechen und Schwinden verkürzt sich
der Beton, sodass die Kontinuitätsbedingung zwischen
Beton und Stahl verletzt wird. Zur Einhaltung
der Verträglichkeit wird daher der Schnittkraftanteil
ΔF c = ΔF s vom Beton auf den Betonstahl umgelagert.
Die zeitabhängige Kontinuitätsbedingung für
den Betonstahl lautet:
ε s,t = ε cs + ε cc – ε cϕ
ΔFs
( t)
=
E ⋅ A
s
s
freiesKriechen
ε
cc
F ( t )
E ⋅ A
c 0
c
ε
[ ]
cs + ⋅ϕ(
t,
t0
) − ⋅ 1+
χ⋅ϕ(
t,
t0
)
Schwinden
Unter Ausnutzung der Gleichgewichtsbedingungen
des Eigenspannungszustands (ΔFC = ΔFs), einer freien Schwindverformung εcs = 0,15 ‰ und einem
Kriechbeiwert ϕ(t,t0) = 3,0 ergibt sich die zeitabhängige
Änderung der Betonstahlkraft zu ΔF(t) =
334 kN.
ES
As
εcs
⋅E
s ⋅ As
+ Fc
( t0
) ⋅ ⋅ϕ(
t,
t0
)
Ec
Ac
ΔFs
( t)
=
ES
As
1+
⋅[
1+
χ⋅ϕ(
t,
t0
) ]
E A
Δ
F s
F s(t) = 169 + 334 = 503kN
F c(t) = 831 – 334 = 497kN
c
c
c
c
ΔF
E
c
⋅ A
c Dehnungen εcϕ
infolge
Spannungsumlagerungen
20000⋅19,
6
0,
00015⋅20000⋅19,
6 + 831⋅
⋅3,
0
3190⋅605
( t)
=
= 334 kN
20000⋅19,
6
1+
⋅[
1+
0,
8⋅3,
0]
3190⋅605
Das Beispiel zeigt anschaulich, dass durch das
zeitabhängige Verhalten des Betons ein großer Anteil
der Schnittgrößen vom Beton auf den Stahl umgelagert
wird. Die wesentlichen Einflussfaktoren sind das
Schwindmaß, die Endkriechzahl, die Höhe der Betondruckspannungen
aber auch der Bewehrungsgrad
(Abb. 18). Da der Betonstahl bei einer elastischen
Querschnittsbemessung rechnerisch ausgenutzt wird,
kann die Umlagerung bereits unter Gebrauchslasten
zum Plastizieren des Betonstahls führen. Die Parameter
des Beispiels wurden so gewählt, dass der Bewehrungsstahl
auch nach der Umlagerung noch im linear-