Entstehung von Spektrallinien

3.2 Strahlungstransport in Spektrallinien
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Lösung I ν
= const. Dieser Fall ist immer dann erfüllt, wenn das Strahlungsfeld der
Frequenz ν in keiner Weise mit dem Medium, welches es durchdringt, wechselwirken
kann. Für alle Frequenzen gilt das beispielsweise für ein Vakuum.
Für Gl. 3.166 lässt sich aber auch eine formale Lösung finden. Dazu ersetzen
wir die z-Koordinate durch die optische Tiefe, die von der Sternoberfläche aus entgegen
der z-Koordinate zunimmt (dz = −dτ ν
/κ ν
):
µ dI ν(µ, τ ν )
dτ ν
= I ν (µ, τ ν ) − S ν (τ ν )
(3.167)
Wenn man jetzt diese Gleichung mit dem integrierenden Faktor exp (−τ ν /µ)
multipliziert und zwischen den beiden optischen Tiefen τ 1
und τ 2
(mit τ 2
> τ 1
) integriert,
erhält man als Lösung:
(
I ν (µ, τ 1 ) = I ν (µ, τ 2 ) exp − τ ) ˆτ 2 (
2 − τ 1 S ν (t)
+
µ
µ exp − t − τ )
1
dt
µ
τ 1
(3.168)
t ist hier eine Hilfsvariable, die innerhalb der Integrationsgrenzen entlang des
Lichtstrahls läuft. Mit dem Integral (zweiter Summand) erfasst man den Beitrag
zur Intensität, welcher sich aus der Änderung der Ergiebigkeit entlang des durch
das Medium laufenden Lichtstrahls ergibt (Emissionsanteil). Die spezifische
Intensität ändert sich demnach über den Sichtwinkel ϑ und die Ergiebigkeit S ν
mit
der optischen Tiefe τ ν
in der Sternatmosphäre. Der erste Summand ist dagegen
nichts anderes als die am Ort mit der optischen Tiefe τ 2
herrschende Intensität
I ν
(μ, τ 2
), verringert um den Exponentialfaktor zum Ort mit der optischen Tiefe τ 1
– also dessen Abschwächung entlang des Lichtstrahls (Absorptionsanteil).
Man bezeichnet diese Lösung der Strahlungstransportgleichung deshalb als
„formal“, weil sie gewisse Abhängigkeiten nicht adäquat abzubilden vermag, die
in realen Sternatmosphären gegeben sind. So ist die Ergiebigkeit selbst gewöhnlich
eine Funktion der spezifischen Intensität. In der Praxis kommen deshalb zur
Lösung in entsprechenden Computerprogrammen spezielle numerische Verfahren
zum Einsatz. Zu erwähnen ist hier beispielsweise die sogenannte „OK87-Methode“,
die auf eine Arbeit von G. L. Olson und P. B. Kunasz aus dem Jahre 1987
zurückgeht (Olson und Kunasz 1987) und auch non-LTE-Rechnungen ermöglicht.
Einige einfache Fälle lassen sich aber durchaus mit Gl. 3.168 angehen. Setzt
man z. B. τ 2
= 0, was für die Sternoberfläche zutrifft, dann lässt sich der „Einfall“
von Strahlung von außerhalb des Sterns (d. h. für μ < 0 für den Ort, wo τ 2
= 0) vernachlässigen.
Der erste Summand der rechten Seite verschwindet und es bleibt nur
das Integral für den Beitrag der spezifischen Intensität übrig, der von „oben“ den
Ort mit der optischen Tiefe τ ν
erreicht:
I − ν (µ, τ ν) =
ˆ 0
τν
(
S ν (t)
µ exp − t − τ )
ν
dt
µ
(3.169)