Entstehung von Spektrallinien

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3043 Sternspektren und SternatmosphärenAbsorptionskoeffizienten entlang des Pfades s (Weg des Lichtstrahls) in RichtungBeobachter berechnet, wobei an der Sternoberfläche τ ν= 0 wird:τ ν =ˆ sBetrachtet man die Intensität I νder Strahlung, die radial aus dem Stern austritt(dr = ds), dann folgt aus Gl. 3.153 durch Integration:0κ ν dsI ν = I ν,0 exp(−τ ν )(3.155)d. h., die Intensität I ν,0, die aus einer optischen Tiefe von τ ν= 1 stammt, ist an derSternoberfläche auf I ν,0/e, also auf rund 37 % ihres ursprünglichen Wertes gefallen.Medien, die bei einer Frequenz ν eine optische Tiefe τ ν≫ 1 besitzen,bezeichnet man als bei dieser Frequenz „optisch dick“; andernfalls spricht manvon „optisch dünnen“ Medien, bei denen näherungsweiseI ν ≈ I ν,0 (1 − τ ν )gilt. Die Erdatmosphäre ist beispielsweise im Bereich des sichtbaren Lichtes„optisch dünn“, während sie im fernen UV und im Röntgenbereich „optisch dick“ist.In der Sternmaterie finden natürlich nicht nur Absorptionsvorgänge statt. Analogzum Absorptionskoeffizienten κ νkann deshalb auch ein frequenzabhängigerEmissionskoeffizient ɛ νeingeführt werden, welcher angibt, wie viel Energie proSekunde und Kubikmeter in den Raumwinkel dω = 1 emittiert wird:dI ν = ε ν ds(3.156)Oder anders ausgedrückt: Diese Beziehung erfasst die längs des Weges zusätzlichemittierte Energie, sodass sich unter der Voraussetzung, dass die Strahlung eineplanparallele Schicht unter dem Winkel ϑ durchdringt, folgende Bilanzgleichungaufstellen lässt:cos ϑ dI νds =−κ νI ν (ϑ) + ε ν(3.157)(3.158)(3.159)Man beachte dabei, dass der erste Summand richtungsabhängig und der zweiterichtungsunabhängig ist. Auch der Emissionskoeffizient ist gewöhnlich eine komplizierteFunktion der Frequenz und hängt von den physikalischen Bedingungenam Ort der Emissionsvorgänge ab.3.2.1 Lokales thermodynamisches Gleichgewicht (LTE) undKirchhoff‘scher SatzDa Sternatmosphären einen radialen Temperaturgradienten aufweisen, können siesich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. ThermodynamischesGleichgewicht setzt explizit voraus, dass überall (d. h. an jedem Ort) die gleicheTemperatur T herrscht und das Strahlungsfeld isotrop ist – Bedingungen, die nach
3.2 Strahlungstransport in Spektrallinien305Definition nur für Schwarze Strahler gelten. Im kosmischen Raum erfüllt lediglichdie 3 K-Hintergrundstrahlung weitgehend diese einschränkenden Forderungen.Es ist aber durchaus realistisch, die Bedingung des thermodynamischen Gleichgewichtsfür ein Volumenelement dV innerhalb einer (nicht zu dünnen) Sternatmosphäreanzunehmen, vorausgesetzt, dass sich über die mittlere freie Weglängeder Teilchen (das ist der Weg, den ein Atom bzw. Photon im Mittel zwischen zweiElementarereignissen zurücklegt) die Gastemperatur gleich bleibt. In solch einemFall spricht man von einem „lokalen thermodynamischen Gleichgewicht“, welchesgewöhnlich mit LTE (Local Thermodynamic Equilibrium)) abgekürzt wird. Eserlaubt die uneingeschränkte Anwendung des Kirchhoff‘schen Satzes Gl. 3.1, nachdem das Absorptionsvermögen eines Mediums gleich dem seines Emissionsvermögenist, also mit der Planck-Funktion Gl. 2.37:ε ν = κ ν B ν (T)(3.160)Das Verhältnis zwischen Emissionskoeffizient und Absorptionskoeffizient, welchesfür eine gegebene Temperatur T Gl. 3.160 erfüllt, wird gewöhnlich als„Ergiebigkeit“ – oder im englischsprachigen Raum als source function – bezeichnet:S ν = ε νκ ν= B ν (T)(3.161)Physikalisch ist diese Größe der Anzahl der Photonen der Frequenz ν proportional,die pro Einheitsintervall der optischen Tiefe dτ νpro Zeiteinheit dt in alleRichtungen emittiert werden. Sie besitzt die gleiche Einheit wie die spezifischeIntensität. Gilt dI ν/ds > 0, also ɛ ν> κ νI ν, wobei. eine infinitesimale Weglänge entlangdes Lichtstrahls ist, dann wird der Lichtstrahl verstärkt. Ist dagegen dI ν/ds < 0,also ɛ ν< κ νI ν, dann wird der Lichtstrahl über die Distanz s immer schwächer, bis ervollständig ausgelöscht ist.Während Gl. 3.160 nur für einen schwarzen Körper im thermodynamischenGleichgewicht Gültigkeit hat (S ν= B ν(T)), kann in den Fällen, in denen dieseBedingung nicht erfüllt ist, immer eine Art von frequenzabhängiger „Anregungstemperatur“T Anrangegeben werden, für die S ν = B ν (T Anr ) ist.Mit dτ ν= − κ νds lässt sich dann Gl. 3.159 wie folgt schreiben:cos ϑ dI νdτ ν= I ν (ϑ) − S ν(3.162)Diese lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung in der Form einer Strömungsgleichungnennt man in der Astrophysik „Strahlungstransportgleichung“. Sie giltfür jeweils eine bestimmte Frequenz und kann zur Berechnung von Strahlungstransportvorgängenin Sternen verwendet werden, bei denen die BedingungR/R ≪ 1 erfüllt ist, wobei R die Mächtigkeit der Sternatmosphäre angibt. Insolch einem Fall kann man, ohne einen großen Fehler zu machen, vereinfachendvon einer planparallelen Atmosphärenschicht ausgehen. Kommen dagegen dieAusmaße der Sternatmosphäre in die gleiche Größenordnung wie ihre Radien(wie es beispielsweise bei kühlen Riesensternen der Fall ist), dann muss manihre Kugelsymmetrie bei der Ableitung auf jeden Fall berücksichtigen. In diesem
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