Entstehung von Spektrallinien

3.2 Strahlungstransport in Spektrallinien
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Man beachte: Wasserstoff kann nur einmal durch Entfernen seines Elektrons
ionisiert werden, weshalb im Folgenden der r-Index auch weggelassen wird.
Damit ergibt sich unter Berücksichtigung aller Anregungszustände für den
Anteil der neutralen Wasserstoffatome bei der Temperatur T folgende Beziehung:
Führt man nun noch die Zustandssumme
ein, dann wird Gl. 3.220 zu
N(HI) = N eN p
n Qe
Z =
∞∑
n=1
∞ ∑
n=1
(
g n exp − ε )
n
k B T
(
g n exp − E )
n − E 1
k B T
N(HI)
= Z ( )
EP
exp
N e N p n Qe k B T
(3.220)
(3.221)
(3.222)
Eine genauere Untersuchung von Gl. 3.221 zeigt jedoch, dass die Zustandssumme
für n → ∞ divergiert. Dieses physikalisch offensichtlich unsinnige Ergebnis kann
jedoch pragmatisch auf einen Wert der Größenordnung 1 reduziert werden, wenn
man den größten n-Wert so wählt, dass der von n abhängige Bohr‘sche Atomradius
Gl. 3.9 (r n = 0,53 · 10 −10 n 2 [m]) des angeregten Wasserstoffatoms die gleiche
Größenordnung erreicht wie der mittlere Abstand der einzelnen Atome im
Wasserstoffgas (cut-off-Bedingung). Das Verhältnis zwischen ionisierten Atomen
zu neutralen Atomen lässt sich dann in sehr guter Näherung durch Gl. 3.223 ausdrücken:
N p
N(HI) ≈ n (
Q e
exp − E )
P
N e k B T
(3.223)
Im Unterschied zur Boltzmann-Gleichung erscheint in der Saha-Gleichung
explizit die Elektronendichte N e
als Ausdruck für die Druckabhängigkeit des statistischen
Gewichts der freien Elektronen. Das bedeutet, dass das Ionisationsverhalten
eines Gases im thermodynamischen Gleichgewicht nicht nur von der
Temperatur T, sondern auch vom Umgebungsdruck P bzw. der Dichte ρ abhängt.
Oder anders ausgedrückt: Eine Erhöhung der Temperatur fördert die Ionisation der
Sternmaterie, während die Erhöhung des (Elektronen)-Drucks die Rekombination
begünstigt.
Mit diesen Erkenntnissen lässt sich die in Abschn. 2.4.4 ausführlich eingeführte
Spektralsequenz der Sterne in ihren Grundzügen deuten, denn sie ist nichts anderes
als das optisch sichtbare Resultat aus den realisierten Besetzungszahlen der
angeregten atomaren Zustände und den Ionisationsgraden der verschiedenen, in
der Sternatmosphäre vorkommenden Elemente als Funktion der Temperatur. Der
Unterschied zwischen den Spektren von Riesensternen und Hauptreihensternen