Entstehung von Spektrallinien

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3 Sternspektren und Sternatmosphären
Da die Anzahl der vom Maximalimpuls p max
der Elektronen abhängigen Phasenraumzellen
in einem Volumen V gleich 4πp3 max
V/(3h 3 ) ist, ergibt sich (da Elektronen
Fermionen mit dem Spin ±1/2 sind und deshalb zwei Elektronen unterschiedlicher
Spinquantenzahl genau eine Phasenraumzelle belegen) für die „Besetzungszahl“
dieses Volumens 8πp3 max
V/(3h 3 ). Daraus folgt für die Zustandssumme der Elektronen
im Impulsbereich p bis p + dp
und aufgrund
Z(p)dp = 8πp2 V
h 3 dp,
(3.215)
g e dp = Z(p) 8π p 2 8π me 3 dp = dp = v2 e
N e V N e h3 N e
(3.216)
h 3 dv
mit N e die Elektronenzahldichte und v e die Elektronengeschwindigkeit geht
Gl. 3.214 in
(
N r+1,m
N e dv = g r+1,m 8πme
3
N r,n g r,n h 3 exp − E P,r + E r+1,m − E r,n + 1 2 m )
eve
2 ve 2 k B T
dv
(3.217)
über.
Daraus folgt wegen ´ ∞
0
ve 2 exp ( −ve) 2 √ dv = π/4 nach Integration über alle
Geschwindigkeiten die Saha-Gleichung in der Form
N r+1,m
N e = g r+1,m 2 √ (2πm e k B T) 3 (
N r,n g r,n h 3 exp − E )
P,r + E r+1,m − E r,n
k B T
Die in Gl. 3.218 enthaltene Größe
n Qe =
[ 2πme k B T
h 2 ] 3/2
≈ 2,41 · 10 21 T 3/2
wird manchmal als Quantenkonzentration der Elektronen bei der Temperatur T
bezeichnet. Damit lässt sich im Fall des Ionisationsgleichgewichts von Wasserstoff
unter der Bedingung der Photoionisation
die Saha-Gleichung folgendermaßen aufschreiben:
N(H n )
N e N p
H n + γ ⇄ e − + p
= g (
n
exp − ε )
n
,
n Qe k B T
dabei ist g n = 2n 2 (Entartung) und − ɛ n
= E P
+ (E 1
− E n
).
(3.218)
(3.219)