Entstehung von Spektrallinien

312
3 Sternspektren und Sternatmosphären
Für die ausgehende Strahlung (μ > 0) ist.
I + ν (µ, τ ν) =
ˆ ∞
τ v
(
S ν (t)
µ exp − t − τ )
ν
dt
µ
(3.170)
also für einen bestimmten Ort mit der optischen Tiefe τ ν in der Sternatmosphäre
Die beobachtete, d. h. die Sternoberfläche unter einem Winkel ϑ verlassende
Intensität I ν
(0, ϑ) ist mathematisch nichts anderes als das gewichtete Mittel der
Ergiebigkeit entlang der Sichtlinie:
I ν (µ,0) =
I ν (τ ν ) = I − ν (τ ν) + I + ν (τ ν)
ˆ∞
τ ν =0
3.2.3 Eddington-Barbier-Beziehung
(
S ν (τ ν )
µ exp − τ )
ν
µ
(3.171)
(3.172)
dτ ν
(3.173)
Ein einfacher Ansatz ist nun davon auszugehen, dass sich die Ergiebigkeit S ν
linear mit der optischen Tiefe verändert. Dazu entwickelt man die Ergiebigkeit um
den Punkt τ ν
′
in eine Potenzreihe und berücksichtigt nur die ersten beiden Glieder
(linearer Ansatz):
( )
( ) (
S ν (τ ν ) = S ν τ
′
ν + τν − τ ′ )dS ν τ
′
ν
ν = a + bτ ν
dτ ν
Eingesetzt in Gl. 3.173 ergibt sich nach Integration:
I ν (µ,0) = S ν (τ ν = cos ϑ)
(3.174)
Diese Beziehung sagt aus, dass mit guter Näherung die an der Sternoberfläche
unter dem Winkel ϑ abgestrahlte spezifische Intensität I ν (ϑ) gleich
der Ergiebigkeit S ν
bei einer optischen Tiefe τ ν
= cos ϑ ist. Sie wird als
Eddington-Barbier-Beziehung bezeichnet.
Unter Verwendung dieser Näherung ergibt sich unter der Annahme eines
über den gesamten interessierenden Spektralbereich gemittelten Absorptionskoeffizienten
κ („graue Atmosphäre“) folgende Beziehung für die mittlere Intensität
der die Photosphäre verlassenden Strahlung:
Ī = 3 (
τ + 2 )
σ Teff
4 4π 3
(3.175)
und wegen Gl. 3.161 und 2.43
T 4 (ϑ) = 3 4 T 4 eff
(
τ + 2 )
3
(3.176)