antriebstechnik 5/2024

FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG
TRAGFÄHIGKEITSANALYSE
OPTIMIERTER ZAHNEINGRIFF DURCH
GEZIELT VERFORMTE ZAHNRÄDER
Zahnräder sind komplexe Gebilde, deren Eigenschaften gerade unter
Belastung nur schwer zu optimieren sind. Ein Grund dafür sind
Verformungen, denen die Zahnräder unterliegen. Der vorliegende Artikel
beschreibt die Möglichkeit, eine lastabhängige und gezielte Verformung
des Radkranzes zu erzeugen. So soll für alle Lastzustände ein optimales
Tragbild geschaffen werden können.
In der Zahnradauslegung kommt dem Tragfähigkeitsnachweis
[5] eine besondere Bedeutung zu. Die ideale Anlage von zwei
kämmenden Zähnen mit einer großen Anlagefläche über der
gesamten Zahnbreite stellt sich auch bei geradverzahnten
Zahnrädern nicht immer ein. Das Tragbild wird durch eine Vielzahl
an Einflussfaktoren negativ beeinflusst. Zuerst ist eine Fertigungsabweichung
zu nennen, die bereits eine partiell stärkere
Belastung erzeugt. Weiterhin haben Verformungen im Betrieb einen
häufig negativen Einfluss. Darüber hinaus wird üblicherweise
für nur einen Lastzustand eine Optimierung durchgeführt. Bei
abweichenden Belastungen treten geänderte Verformungen am
Zahnrad auf, die sich in der Regel negativ auf das Tragbild auswirken.
Die aufgebrachte Last führt darüber hinaus durch den radialen
Kraftanteil neben der Verformung des Zahnrades, auch zu
einer Verformung der Welle und besonders bei auf der Welle exzentrisch
angeordneten Zahnrädern ebenfalls zu einem Einfluss
auf das Tragbild der Stirnradpaarung.
Diese Auswirkungen einer ungleichmäßigen Kraftverteilung
über der Zahnbreite werden in der Tragfähigkeitsanalyse über
die Flankenbeanspruchung K Hb
berücksichtigt. Die Abweichungen
aus der Fertigung werden über herstellungsbedingte Flankenlinienabweichung
f ma
und die Montage sowie die elastischen
Verformungen über die Flankenlinienabweichung durch Verformung
f sh
berücksichtigt. In diese fließt auch die Ritzellage zu den
Lagern über den Faktor K´ ein.
γγ = 00
01 Stirnradpaar unbelastet (links)
und belastet/verformt (rechts)
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γγ ≠ 00
γγ = 00
γγ ≠ 00
γγ ≠ 00
Der nachfolgenden Abhandlung liegt das Ziel zugrunde, eine
lastabhängige und gezielte Verformung des Radkranzes der
Zahnräder zu erzeugen, so dass das Zahnrad immer senkrecht
zur Mittellinie der unverformten Welle verbleibt. Somit kann für
alle Lastzustände ein optimales Tragbild der Zähne im Zahneingriff
erzeugt werden. Die Verformung wird dabei von zwei Faktoren
bestimmt. Zum einen wird die Steifigkeit durch die Dicke der
Radkranzaufnahme bestimmt, zum anderen wird die axiale Kraft
zur Verformung des Trägers über den Schrägungswinkel ß angepasst.
Dabei ist zu beachten, dass dieses Verfahren nur bei Torsionsmomenten
mit gleichbleibender Drehrichtung anzuwenden
ist. Bei wechselnden Drehmomentenrichtungen würde ein deutlich
negativer Zustand nach der Drehrichtungsumkehr erzeugt.
Der Ablauf zur Auslegung dieser gezielt elastischen Verformung
des Radkranzes wird in Bild 02 gezeigt. Die Vorgehensweise
ist iterativ vorzunehmen durch die Anpassung der Radkranzdicke
zur Sicherstellung einer rein elastischen Verformung mit
Berücksichtigung einer geforderten Sicherheit und der Anpassung
des Schrägungswinkels ß zur Erreichung der gewünschten
Verformung des Radkranzes.
Das Ziel dieser gezielten Verformung ist Bild 03 zu entnehmen.
Trotz der Durchbiegung der Wellen mit einem Neigungswinkel
an der Zahnradaufnahme von γ ≠ 0, wird eine parallele Anordnung
der Zähne und damit eine optimierte Anlage im Zahneingriff
durch γ´ = 0 erreicht.
Unter der Voraussetzung der üblichen Wälzlagerung von Getriebewellen
und der maximal zulässigen Neigung der Wellen in
den Lagerstellen, kann in diesem Anwendungsfall nach [3] von
dünnen Scheiben mit kleinen γγγ = 00Durchbiegungen
ausgegangen
werden. Dies ermöglicht die Anwendung des Kirchhoff-Modells
auf den Radkranz. γγ ≠ 00
Durch diese geringfügige Verformung ist für die Plattentheorie
die Tragwerkstheorie 1. Ordnung anwendbar, was eine Kombination
der Scheibentheorie für die Radial- und Tangentialkraft bei
schrägverzahnten Stirnrädern mit der Plattentheorie der Axialkraft
des schrägverzahnten Zahnrades zulässt.
γγγ = 00
NEIGUNGSWINKEL DES ZAHNRADES
Begonnen wird mit der Berechnung der Biegelinie der Welle. An
der Position des Zahnrads ist der Neigungswinkel γ der Welle zu
bestimmen, dieser bestimmt den auszugleichenden Neigungs-