Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

Mit dieser Zahl konnten wir so einen One-Time-Pad-Schlüssel herleiten. Dafür sendete uns die Zentrale
ein Alphabet und eine Erklärung, wie wir den Zahlenschlüssel in einen Textschlüssel umwandeln können.
Außerdem bekamen wir einen verschlüsselten Text, den wir mit diesem Schlüssel erfolgreich in einen Text
entschlüsseln konnten, der einen Weblink enthielt.
Nachdem wir den Link geöffnet hatten, erhielten wir Arbeitsblätter, die wir am nächsten Vormittag
bearbeiten sollten. Einige Gruppen haben schon am gleichen Tag angefangen.
Donnerstag, 21.07.2011
Am Tag vor der öffentlichen Präsentation unserer Ergebnisse, sollten wir die verschiedenen
mathematischen Kapitel zum Thema Kryptographie auf den Arbeitsblättern in Kleingruppen bearbeiten.
Diese wurden anschließend nach selbstständiger Auseinandersetzung mit den Themen den übrigen
Gruppenmitgliedern präsentiert und erklärt. Außerdem machten sich alle mit den mathematischen
Grundlagen zum Rechnen mit Resten vertraut.
Die erste Gruppe – Luisa Kreß und Frank Steiler – hat das Thema “Euklid und der ggT” behandelt.
Dort wurde der Euklidische Algorithmus, ein Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen
Teilers zweier Zahlen, vorgestellt und dessen Korrektheit bewiesen.
Wir probierten den Algorithmus anhand eines Beispiels aus:
� = 980
� = 336
ggt (�, �) = 28
Der Euklidische Algorithmus liefert dann:
�=� � ⋅�+� �,
�= � � ⋅� � +� �,
� � = � � ⋅� � +� �;
� ��� =� � ⋅� ��� +� � ⇒ � � =0
Es gilt:
� ��� = ggT(�, �)
Satz von Bezout:
Für zwei ganze Zahlen � und � gibt es immer ganze Zahlen � und �, so dass gilt:
ggT(�, �) = �⋅�+�⋅�
Lemma vom inversen Element:
Sind � und � natürliche Zahlen mit ggT(a, n) =1, so gibt es genau ein � mit 0 ≤d≤n−1, so dass gilt:
1 ≡ � ⋅ � (mod �)
Die zweite Gruppe – Niklas Glaab und Thomas Aulbach – beschäftigte sich mit dem “Satz von Fermat”.
Der Satz von Fermat ist ein Satz aus der Zahlentheorie, der wichtig für die RSA-Verschlüsselung ist.
Definition (Eulersche Phi-Funktion):
Die Eulersche �-Funktion gibt die Anzahl der Zahlen an, die teilerfremd zu einer gegebenen Zahl � und
kleiner als diese sind, also keinen gemeinsamen Teiler mit � haben außer 1. Für Primzahlen � gilt:
�(�) =�−1.
Satz:
Für jede Primzahl � und Zahl � gilt:
� �(�)�� = � � ≡�(��� �)
Der Beweis des Satzes von Fermat ist durch vollständige Induktion möglich.
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