Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

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Arbeitsteilig werden zeitgleich in Kleingruppen die Gleichungen aufgestellt und anschließend gelöst. Zudem wird an einer computergestützten (analytischen) Lösung des Systems mit Hilfe von QTOctave gearbeitet und die Arbeitsergebnisse protokolliert. Das obige System mit den zwei Kohlenstoffsenken lässt sich mit Differenzialgleichungen folgendermaßen beschreiben: x ′ l = −axl + bxw x ′ w = axl − bxw Über die oben erläuterte Rechenmethodik gelangt man nach Umformulierung in die Matrixschreibweise zu einer Lösung: � ˙ xl xw � � = xl(t) = 1497b a+b xw(t) = 1497 a+b −a b a −b �� xl xw � 1497b + (597 − a+b ) · e−(a+b)t 1497b − (597 − a+b ) · e−(a+b)t xl(t)stellt hierbei den zeitlichen Verlauf der CO2-Konzentration in der Luft (in der Atmosphäre) dar. Analog dazu entspricht xw(t) dem zeitlichen Verlauf der CO2-Konzentration im Wasser. Die absoluten Zahlen stellen verrechnete Anfangswerte dar, a und b die an den Pfeile angetragenen variablen Austauschwerte. Im endgültigen Modell sollen die Parameter durch realistische Werte vertreten sein, welche im Laufe des Tages im Internet recherchiert werden. Nimmt man für a den Wert −0.7 und b den Wert 0.8 an so erhält man nachfolgenden Plot: 37
Aus dem Graphen wird ersichtlich, dass die beiden Kurven im zeitlichen Verlauf divergieren, was keinesfalls den realen Bedingungen entsprechen kann. Werden im Gegensatz dazu realistische Werte für a und b angenommen, so erhält man einen konvergierenden Verlauf der Funktionsgraphen (a = 70 70,6 597 , b = 900 ). Es wird im Gleichgewichtszustand ein Sättigungswert erreicht: In diesem “Zwei-Kasten-Modell” wird lediglich des Austausch von CO2 zwischen Luft und Wasser berücksichtigt. Um das menschliche Einwirken in dieses System zu simulieren wird das Modell auf ein “Drei-Kasten-Modell” erweitert. Projekttag 3 Die Bemühungen das “Zwei-Kasten-Modell” auf eines mit drei Elementen zu erweitern scheitern an seiner für eine manuelle analytische Lösung zu großen mathematischen Komplexität. In diesem Zusammenhang erscheint es vernünftig auf eine computergestützte numerische Lösung zurückzugreifen, welche auch auf die spätere Erweiterung des Schemas Anwendung finden soll. So ist für die endgültige Lösung angedacht ein siebenteiliges Schema mit einem der Realität angemessenen Komplexitätsgrad zu entwickeln. Die Struktur der als Euler-Methode bezeichneten Lösungsmethode wird im Laufe des zweiten Tages erarbeitet: Numerische Lösung (Euler-Verfahren) Bei immer größer und komplexer werdenden Systemen, für die eine analytische Lösung zu komplex und aufwendig werden würde, verwendet man eine numerische Lösung - das Eulerverfahren. Durch Approximation werden in vorher definierten (Zeit)Abschnitten Werte berechnet und iteriert. In der Ausgangsgleichung xl(t) ′ = −axl(t)+bxw(t) wird das x ′ l durch man x(t+Δt)−x(t) Δt = −axl(t)+bxw(t) erhält. So ergibt sich: xt+1 − xt = −axl · Δt + bxwΔt durch x(t+Δt)−x(t) Δt ersetzt, wo- Man erhält für den Wert im nächsten Anschnitt die Gleichung xt+1 = xk − axl · Δt + bxwΔt . Lässt man nun vom Computer in möglichst kleinen Intervallen Werte berechnen erhält man eine näherungsweise Lösung. Es lässt sich feststellen, dass die Plots der beiden Lösungsvarianten identische Ergebnisse liefern. Das “3-Kasten-Modell” Fügt man nun einen menschlichen CO2-Eintrag zum Modell hinzu, erhält man das besagte Modell mit drei Elementen. Nun wird computergestützt (unter Zuhilfenahme von MatLab) mit dem expliziten Euler-Verfahren eine Lösung ermittelt. Es resultieren folgende Szenarien: Nimmt man an, dass der Mensch seinen Ausstoß verringern kann, erhält man folgenden Graph, in dem die CO2-Menge nur gering steigt: 38
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