Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

Gäbe es ein δ>0, sodassfim Intervall ]0,δ[ monoton steigt, so würde f ′ (x) ≥ 0 für alle
x ∈]0,δ[ gelten. Es ist jedoch
f ′
� �
1
=
2nπ
1
2
· (2+sin(2nπ)) − cos(2nπ) = − 1 < 0
nπ nπ
� �
1
′ 1
für alle n ∈ IN, und es gibt ein n0 ∈ IN mit ∈]0,δ[, wodannalsof < 0 ist.
2n0π 2n0π
Dieser Widerspruch zeigt, dass f in keinem Intervall ]0,δ[ monoton steigt. Analog folgt, dass
f in keinem Intervall ] − δ, 0[ mit δ>0 monoton fällt.
Dieser Argumentation liegt folgende etwas anschaulichere Überlegung zugrunde: In dem Ausdruck
f ′ (x) =2x · � 2+sin1 �
1
1
x − cos x ist für x „nahe“ bei 0 der Term − cos x der bestimmende,
während 2x · � 2+sin1 �
1
x kaum ins Gewicht fällt. Nun oszilliert aber cos x bekanntlich für jedes
δ>0 in ]0; δ[ unendlich oft zwischen −1 und +1, d.h. in jedem solchen Intervall wechselt das
Verhalten von f unendlich oft zwischen monoton fallend und monoton steigend hin und her.
Die nachfolgenden Bilder zeigen unterschiedlich große Ausschnitte aus dem Graphen von f.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
-0.4 -0.2 0.2 0.4
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
0.00005
-0.01 -0.005 0.005 0.01
4 Logische Paradoxien
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
-0.1 -0.05 0.05 0.1
1. Vier Karten enthalten jeweils auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen eine
Zahl. Sie liegen so, dass folgende Oberseiten sichtbar sind:
50
E K 4 7