Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

Gleichsetzen dieser beiden Beziehungen liefert
Andererseits ist 0 ≤ x
z
�
x
�n <
z
�
x
�2 z
und
�
x
�n +
z
< 1 und 0 ≤ y
z
�
y
�n <
z
�
y
�n =
z
�
x
�2 +
z
�
y
�2 .
z
< 1, und wegen n ≥ 3 folgt
�
y
�2 , also
z
�
x
�n +
z
�
y
�n <
z
�
x
�2 +
z
�
y
�2 ,
z
ein Widerspruch!
Leider gelang es U. N. Sinn nicht, die Mathematikergemeinde von der Richtigkeit seines
Beweises zu überzeugen. Warum nicht?
Lösung: In den beiden Gleichungen (1) und (2) haben x, y, z unterschiedliche Bedeutung:
Es gibt keinen Grund für die Annahme, dass die als existent angenommene Lösung (x, y, z)
von (1) zugleich der Gleichung (2) genügt. Damit sind alle weiteren Betrachtungen hinfällig.
Gezeigt ist nur, dass etwaige Lösungen von (1) keine pythagoräischen Tripel sein können.
Dies ist aber keine sehr tiefliegende Erkenntnis.
4. Gibt es irrationale Zahlen a, b > 0, sodassa b rational ist?
√
2
(„wider Erwarten“) rational ist, so leisten √
2
und
� √ �
√2 2
√ 2
= �√ 2 �√2· √ 2 �√ �2 = 2 =2
Lösung: Ja, es gibt solche Zahlen: Falls √ 2
a := b := √ 2 das Gewünschte. Falls √ √
2 √
2 irrational ist, so setzt man a := 2
b := √ 2.Essinddannaund b irrational, aber ab =
ist rational.
Variante: Für a := e, b := ln 2 gilt ab =2. Man muss dann aber zeigen, dass e und ln 2
irrational sind. Dies ist insbesondere für ln 2 nicht ganz einfach...
5. Ein böser Zauberer hat 100 Gefangene. Eines Morgens lässt er sie antreten und zaubert
ihnen jeweils einen roten, grünen oder gelben Hut auf den Kopf. Jeder Gefangene kann die
Hutfarben seiner 99 Leidensgefährten sehen, nicht aber seine eigene. Die Gefangenen müssen
nun der Reihe nach die Farbe ihrer Hüte erraten und werden bei richtigem Raten freigelassen.
Dabei dürfen sie sich untereinander nicht verständigen,
abgesehen davon, dass jeder seine
mutmaßliche Hutfarbe nennen darf. Durch
einen glücklichen Umstand erfahren die Gefangenen
schon am Abend zuvor von der Absicht
des Zauberers in allen Details und haben
Gelegenheit, sich zu beraten. Wie können
sie erreichen, dass am nächsten Morgen
möglichst viele von ihnen frei kommen? Wie
viele sind dies?
Lösung: Es können 99 Gefangene sicher befreit werden. Dazu werden die Hutfarben mit
den Zahlen 0, 1 und 2 identifiziert. Es sei ck die Hutfarbe des k-ten Gefangenen (die in der
Reihenfolge nummeriert werden, in der sie zum Erraten ihrer Hutfarbe aufgerufen werden).
Der als erster aufgerufene Gefangene berechnet die Größe
�100
a :=
k=2
ck
53