Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

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Projektbericht der Arbeitsgruppe Paradoxien und Gegenbeispiele Betreuer: Jürgen Grahl, Rainer Schulze, Katharina Engler Teilnehmer: Tamara Finger, Julian Hellmann, Leon Lang, Jonas Müller, Tobias Scharf, Anna- Maria Schulze, Bianca Steinhauer, Frank Vogeltanz 1 Zielsetzung Anhand von zahlreichen kleineren, vielseitig gefächerten Aufgaben wurden (echte oder vermeintliche) Paradoxien vor allem aus der Stochastik, Logik und Geometrie, aber auch aus anderen Bereichen der Mathematik vorgestellt. Desweiteren wurden mehrere Gegenbeispiele aus der Analysis besprochen, die die Grenzen der „landläufigen“ Vorstellungen über Stetigkeit und Differenzierbarkeit abstecken sollten. Es sollte ein Gefühl für die zentrale Bedeutung des präzisen und logisch klaren Argumentierens und die verständliche Darstellung der eigenen Ideen vermittelt werden, aber auch davon, wie man in der Mathematik darum bemüht ist, durch kreatives Schließen elegante, „schöne“ Lösungen für auf den ersten Blick schwierige Probleme zu finden. Die im Laufe der Projektwoche behandelten Aufgaben sind im Folgenden mit Lösungen wiedergegeben. Zahlreiche weitere Paradoxien findet man u.a. in [3] und [5]. Für überraschende Phänomene aus der Stochastik sei z.B. auf [4], [1]und [2] verwiesen. 2 Überraschendes und Paradoxes aus der Stochastik 1. (a) Das Geburtstagsparadoxon Auf einer Party seien 40 Gäste. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens zwei Gäste gibt, die am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben? Wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit bei einer Party mit 60 Gästen? Der Einfachheit halber soll hierbei angenommen werden, dass es keine Schaltjahre gibt. Lösung: Die Wahrscheinlichkeit P (n), dass auf einer Party mit n Gästen alle an verschiedenen Tagen im Jahr Geburtstag haben, beträgt n−1 � � P (n) = 1 − j � n−1 � � � n − j = 1 − , 365 365 j=1 wobei sich die zweite Darstellung mittels Umindizierung aus der ersten ergibt. Multiplikation dieser beiden Darstellungen liefert P 2 n−1 � � (n) = 1 − j � � � n − j · 1 − . 365 365 j=1 Aufgrund der binomischen Formeln gilt ab ≤ � � a+b 2 für alle a, b > 0; diese Abschätzung 2 (die sog. Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel) wenden wir auf die Produkte � 1 − j � � � n−j · 1 − an und erhalten 365 365 j=1 j=1 P 2 n−1 � � (n) ≤ 1 − n �2 � = 1 − 2 · 365 n �2(n−1) , 730 43
also Für n =40bzw. n =80ergibt sich P (n) ≤ � 1 − n �n−1 . 730 P (40) ≤ 0.11106, P(60) ≤ 0.00635. Eine exakte Berechnung (mit Computerhilfe) liefert P (40) = 0.1088..., P (60) = 0.005877.....; unsere Abschätzung erweist sich also als erstaunlich genau. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Gäste am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben, beträgt auf einer Party mit 40 Gästen somit 89, 1%, auf einer Party mit 60 Gästen sogar 99, 4%. (b) Das Paradoxon der ersten Kollision Am 29.6.1995 verkündete die Presse die Sensationsmeldung, dass bei der aktuellen Ziehung der Lottozahlen eine Gewinnreihe gezogen wurde, die bereits bei einer früheren Ziehung (nämlich am 20.12.1986) gezogen worden war. Ein auf den ersten Blick schier unglaubliches Ergebnis: Es gibt im Lotto „6 aus 49“ � � 49 = 13983816 verschiedene 6 Gewinnreihen; aber bereits bei der 3016. Ziehung trat die erste Wiederholung auf! Ist dieses Ereignis tatsächlich so unwahrscheinlich, wie es die Pressemeldungen suggeriert haben? Lösung: Hier kann man völlig genauso wie beim Geburtstagsparadoxon argumentieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass in 3016 Ziehung eine Gewinnreihe zweimal gezogen wird, beträgt 3015 � � � j 1 − 1 − =0.2775..., 13983816 also immerhin über 27%. j=1 2. Das St.-Petersburg-Paradoxon In einem Casino in Sankt Petersburg wird folgendes Spiel gespielt: Es wird wiederholt eine faire Münze gewonnen, solange bis zum ersten Mal „Kopf“ fällt. Geschieht dies in der nten Spielrunde, so beträgt der Gewinn des Spielers 2n Rubel. Welche Gebühr sollte man akzeptieren, um an diesem Spiel teilnehmen zu dürfen? (Die Gebühr soll dabei unabhhängig davon sein, in der wievielten Runde das Spiel endet.) Lösung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel nach genau n Runden endet, beträgt 1 2n . Der zu erwartende Gewinn ist somit ∞� ∞� 1=∞. 44 n=1 2n = 2n n=1 Angesichts derart traumhafter Gewinnaussichten erscheint es rational, einen beliebig hohen (aber endlichen) Einsatz zu akzeptieren. Andererseits wird man in den meisten Fällen nur relativ wenig gewinnen; die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn über 1000 Rubel liegt bei 0, 2%. Hohe Einsätze gehen daher mit einem hohen Risiko einher, viel Geld zu verlieren. Die meisten Spieler werden daher nur einen eher niedrigen Einsatz zu wagen bereit sein. Auflösen lässt sich diese Paradoxie, indem man Folgendes bedenkt:
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