Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

Man überzeugt sich sofort davon, dass jeder Würfel den nachfolgenden mit einer Wahrscheinlichkeit
von 2 schlägt - aber auch Würfel D schlägt Würfel A mit dieser Wahrscheinlichkeit!
3
Daher kann man zu jedem der vier Würfel einen anderen finden, der gegenüber diesem im
statistischen Mittel gewinnt.
3 Gegenbeispiele aus der Analysis
1. Es sei k ∈{0, 1, 2} Man diskutiere die wie folgt definierte Funktion fk : R −→ R, insbesondere
in der Umgebung von x =0:
Lösung:
fk(x) :=
� x k sin 1
x
für x ∈ R \{0} ,
0 für x =0.
(a) Auf R\{0} ist f0 offensichtlich differenzierbar und damit auch stetig. An der Stelle x =0
ist f0 unstetig, es liegt aber keine „Sprungstelle“ vor, sondern eine „Oszillationsstelle“.
Das Verhalten von f0 bei 0 illustrieren die nachfolgenden Ausschnitte aus dem Graphen:
1
0.5
-4 -2 2 4
-0.5
-1
1
0.5
-0.2 -0.1 0.1 0.2
-0.5
-1
1
0.5
-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75
-0.5
-1
1
0.5
-0.04 -0.02 0.02 0.04
(b) An der Stelle x =0(und damit auf ganz R) istf1stetig. Aus der Produkt- und Kettenregel folgt, dass f1 auf R \{0} differenzierbar ist mit
f ′ 1(x) = sin 1 1
+ x · cos
x x ·
�
− 1
x2 �
=sin 1 1 1
− · cos
x x x .
Für alle x �= 0ist
f1(x) − f1(0)
x − 0
= f1(x)
x =sin1
x .
-0.5
-1
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