Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

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existiert nicht. Daher ist f1 im Punkt x =0nicht
differenzierbar.
Hier wieder einige Ausschnitte aus dem Graphen:
Der Grenzwert limx→0 f1(x)−f1(0)
x−0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2 -1 1 2
-0.2
0.05
0.025
-0.1 -0.05 0.05 0.1
-0.025
-0.05
-0.075
0.2
0.1
-0.2 -0.1 0.1 0.2
-0.1
-0.2
0.02
0.015
0.01
0.005
-0.02 -0.01 0.01 0.02
(c) Wie oben sieht man, dass f2 stetig auf R ist und dass f2 auf R \{0} differenzierbar ist
mit
f ′ 2(x) = 2x · sin 1
x + x2 · cos 1
x ·
�
− 1
x2 �
=2x · sin 1 1
− cos
x x .
Für alle x �= 0ist
f2(x) − f2(0)
=
x − 0
f2(x) 1
= x · sin
x x .
Der Grenzwert
f2(x) − f2(0)
lim
= lim x · sin
x→0 x − 0 x→0 1
x =0
existiert. Daher ist f2 differenzierbar in x =0mit f ′ 2(0) = 0.
Also ist f2 auf ganz R differenzierbar mit
f ′ �
1 1
2x · sin − cos ,
2(x) =
x x
0,
falls x �= 0
falls x =0
Jedoch ist die Ableitung f ′ 2 in x =0unstetig: Sie hat dort eine Oszillationsstelle.
2
1
-4 -2 2 4
-1
-2
-0.005
-0.01
-0.015
0.075
0.05
0.025
-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75
-0.025
-0.05
-0.075