Isabelle Hetzler könnte man einmal einladen - Lehrstuhl für Didaktik ...

0.003
0.002
0.001
-0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 -0.04 -0.02 0.02 0.04
-0.001
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-0.00002
-0.00004
2. Üblicherweise stellt man sich differenzierbare Funktionen mit strikten lokalen Minima so
vor, dass sie in einem gewissen Intervall links von der Minimalstelle streng monoton fallen
und in einem gewissen Intervall rechts davon streng monoton steigen. Man zeige, dass diese
Vorstellung durch die Funktion
f(x) :=
� 2 x � 2+sin1 �
x
für x ∈ R \{0} ,
0 für x =0.
widerlegt wird.
Lösung: Wegen 2+sin1 ≥ 1 für alle x �= 0ist
x
f(x) ≥ x 2 > 0=f(0) für alle x �= 0,
so dass f in x =0ein striktes lokales (sogar globales) Minimum besitzt.
Klar ist, dass f differenzierbar auf R \{0} ist, und aus der Produkt- und Kettenregel folgt
f ′ �
(x) =2x · 2+sin 1
�
+ x
x
2 · cos 1
x ·
�
− 1
x2 � �
=2x · 2+sin 1
�
− cos
x
1
x
Aber auch in x =0ist f differenzierbar; es ist nämlich
für alle x �= 0.
�
f(x) − f(0)
= x · 2+sin
x − 0
1
�
x
für alle x �= 0,
und hierbei ist stets � �2+sin1 �
� ≤ 3, so dass der Grenzwert
x
f(x) − f(0)
lim
=0
x→0 x − 0
existiert. Definitionsgemäß ist daher f ′ (0) = 0. Insgesamt ist f also differenzierbar auf R
mit
f ′ � � �
1
1
2x · 2+sin − cos
(x) =
x
x
0
für alle x �= 0
.
für x =0
0.0004
0.0002
-0.0002
-0.0004
1·10 -6
5·10 -7
-5·10 -7
-1·10 -6
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