FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 11Pour tout borélien A ⊂ Ω ⊂ A, on pose :∫vVol nΩ (A) =Vol(B(T x Ω)) dVol(x)ALà encore, la mesure Vol Ω est indépendante du choix de A et de | · |. En particulier, elleest préservée par le groupe Aut(Ω).La proposition suivante permet de comparer deux géométries de Hilbert entre elles.Proposition 2.1. Soient Ω 1 et Ω 2 deux ouverts proprement convexes de P n tels queΩ 1 ⊂ Ω 2 . Les métriques nslériennes F 1 et F 2 de Ω 1 et Ω 2 vérient : F 2 (w) F 1 (w), w ∈T Ω 1 ⊂ T Ω 2 , l'égalité ayant lieu si et seulement si x + Ω 1(w) = x + Ω 2(w) et x − Ω 1(w) =x − Ω 2(w). Pour tous x, y ∈ Ω 1 , on a d Ω2 (x, y) d Ω1 (x, y). Les boules métriques vérient, pour tout x ∈ Ω 1 et r > 0, B Ω1 (x, r) ⊂ B Ω2 (x, r), avecégalité si et seulement si Ω 1 = Ω 2 . De même, B(T x Ω 1 ) ⊂ B(T x Ω 2 ). Pour tout borélien A de Ω 1 , on a Vol Ω2 (A) Vol Ω1 (A).2.2. Fonctions de Busemann et horosphères. Nous supposons dans ce paragrapheque l'ouvert proprement convexe Ω de P n est strictement convexe et à bord C 1 .Dans ce cadre, il est possible de dénir les fonctions de Busemann et les horosphères dela même manière qu'en géométrie hyperbolique, et nous ne donnerons pas de détails.Pour ξ ∈ ∂Ω et x ∈ Ω, notons c x,ξ : [0, +∞) −→ Ω la géodésique issue de x etd'extrémité ξ, soit c x,ξ (0) = x et c x,ξ (+∞) = ξ. La fonction de Busemann basée enξ ∈ ∂Ω b ξ (., .) : Ω × Ω −→ R est dénie par :b ξ (x, y) = limt→+∞ d Ω(y, c x,ξ (t)) − t = limz→ξd Ω (y, z) − d Ω (x, z), x, y ∈ Ω.L'existence de ces limites est due aux hypothèses de régularité faites sur Ω. Les fonctionsde Busemann sont de classe C 1 .L'horosphère basée en ξ ∈ ∂Ω et passant par x ∈ Ω est l'ensembleH ξ (x) = {y ∈ Ω | b ξ (x, y) = 0}.L'horoboule basée en ξ ∈ ∂Ω et passant par x ∈ Ω est l'ensembleH ξ (x) = {y ∈ Ω | b ξ (x, y) < 0}.L'horoboule basée en ξ ∈ ∂Ω et passant par x ∈ Ω est un ouvert strictement convexe deΩ, dont le bord est l'horosphère correspondante, qui est elle une sous-variété de classe C 1de Ω.Dans une carte ane A dans laquelle Ω apparaît comme un ouvert convexe relativementcompact, on peut, en identiant T Ω avec Ω × A, construire géométriquement l'espacetangent à H ξ (x) en x : c'est le sous-espace ane contenant x et l'intersection T ξ ∂Ω∩T η ∂Ωdes espaces tangents à ∂Ω en ξ et η = (xξ) ∩ ∂Ω {ξ}.On peut voir que que l'horoboule et l'horosphère basées en ξ ∈ ∂Ω et passant par x ∈ Ωsont les limites des boules et des sphères métriques centrées au point z ∈ Ω et passantpar x lorsque z tend vers ξ.