FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 57De plus, comme on a retiré l'ensemble limite de ∂Ω r , les orbites sont fermées. Enn, commela variété ∂Ω r est une 3-sphère et l'ensemble limite est un cercle dont le plongement estdonné par la courbe Veronese, l'espace ∂Ω r Λ SL2 (R) est donc connexe. Par suite, l'actionde SL 2 (R) sur ∂Ω r Λ SL2 (R) ⊂ Ω ∞ est transitive.Ceci montre que tout ouvert proprement convexe préservé par ρ d est l'un des Ω r . Le duald'un Ω r est donc un Ω r ′. L'existence d'un unique Ω r autodual est simplement due au faitque la dualité renverse les inclusions.On se donne un r ≠ ∞. Si Ω r n'est pas strictement convexe, il existe un point de ∂Ω r Λ SL2 (R) qui n'est pas un point extrémal. Or, l'action de SL 2 (R) sur ∂Ω r Λ SL2 (R) esttransitive : aucun point de ∂Ω r Λ SL2 (R) n'est extrémal et donc Ω r = Ω 0 .Enn, si r ≠ 0, ∞, le dual de Ω r est un Ω r ′ avec r ′ ≠ 0, ∞. Comme Ω r ′ est strictementconvexe, le bord de Ω r est de classe C 1 .Remarque 10.13. On a vu que Ω 0 n'était pas strictement convexe. Une étude attentivede ρ d permet de voir que Ω ∞ n'est pas strictement convexe. En eet, tout élémenthyperbolique γ de SL 2 (R) possède 5 valeurs propres réelles distinctes pour son action surV d . On peut vérier que la droite propre p 0 γ associée à la troisième (si elles sont rangéespar ordre croissant) appartient au bord de Ω ∞ mais pas à l'ensemble limite. Enn, onpeut vérier que le segment [p 0 γp + γ ] est inclus dans le bord de Ω ∞ , où p + γ désigne le pointxe attractif de γ. Par conséquent, Ω 0 et Ω ∞ ne sont ni strictement convexes ni à bordC 1 .Démonstration de la proposition 10.9. Elle est incluse dans le lemme 10.12.Appendice ASur le volume des pics, par les auteurs et Constantin VernicosLe but de cette annexe est de prouver le résultat suivant.Proposition A.1. Soient Ω un ouvert convexe de R n , p un point du bord ∂Ω en lequel∂Ω est de classe C 1 . Supposons qu'il existe une coupe de Ω de dimension 2, contenantp en son bord, et dont le bord est C α en p, pour un certain α > 1.Alors tout cône C de sommet p et de base B ⊂ Ω compacte est de volume ni.Soit Ω un ouvert convexe de R n euclidien. Rappelons que le volume de Busemann Vol Ωde la géométrie de Hilbert (Ω, d Ω ) est donné parvdVol nΩ (x) =Vol(B(T x Ω)) dVol,où Vol est le volume de Lebesgue de R n et v n le volume de Lebesgue de la boule unité deR n .Par exemple, un simple calcul montre le(i) Soit Ω = (−a, a), avec a > 1. Le volume de Busemann est donnéau point x ∈ Ω paradVol Ω (x) =a 2 − x dx. 2Lemme A.2.