FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

50 MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUISL'ensemble Λ Γ est l'ensemble des points extrémaux de C(Λ Γ ). Ainsi, tout point x deC(Λ Γ ) est barycentre d'au plus n+1 points de Λ Γ . Considérons d'abord l'ensemble C 2 (Λ Γ )des points x ∈ C(Λ Γ ) qui sont sur une droite (ab) avec a, b ∈ Λ Γ (on s'aidera de lagure 19). Comme l'espace (C(Λ Γ ), d Ω ) est Gromov-hyperbolique, le point x est dans unvoisinage de taille au plus δ (pour d Ω ) de (pa) ∪ (pb), pour un certain δ > 0, indépendantde x. Autrement dit, pour tout x ∈ H ∩ C 2 (Λ Γ ), il existe un point y ∈ (pΛ Γ ) tel qued Ω (x, y) < δ. Maintenant, le point z = (py) ∩ H ∈ (pΛ Γ ) ∩ H est le point de H le plusproche de y ; en particulier, d Ω (y, z) d Ω (y, x) < δ. L'inégalité triangulaire donne qued Ω (x, z) < 2δ. On obtient donc que C 2 (Λ Γ ) ∩ H est dans un voisinage de taille 2δ de(pΛ Γ ) ∩ H. On procède par récurrence pour avoir le résultat pour C(Λ Γ ).Figure 19. Preuve du lemme 9.2Lemme 9.3. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Si l'action de Γ sur Ω estgéométriquement nie sur Ω alors l'espace métrique (C(Λ Γ ), d Ω ) est Gromov-hyperbolique.Remarque 9.4. La démonstration qui suit est une amélioration de la démonstrationdu lemme 7.10 de l'article [Mar10b] qui est elle-même une amélioration de la démonstrationde la proposition 2.5 de l'article [Ben04]. Elle est indépendante des deux précédentesmais leur lecture préalable peut aider.Démonstration. On va procéder par l'absurde en supposant qu'il existe une suite detriangles (x n y n z n ) de C(Λ Γ ) dont la taille δ n = sup{d Ω (u n , [xz]), d Ω (u n , [y n z n ])} tend versl'inni, u n étant un point du segment [x n y n ].Quitte à extraire, on peut supposer que toutes les suites convergent dans C(Λ Γ ) (l'adhérenceest prise dans P n ), et on note x, y, z, u les limites correspondantes.On va distinguer deux cas. Supposons que u est un point de Ω. Dans ce cas, il faut au moins, pour que δ npuisse tendre vers l'inni, que les points x, y, z soient à l'inni, autrement dit dansΛ Γ , et qu'ils soient deux à deux distincts. Or, l'ouvert Ω étant strictement convexe,la distance de u à la droite (xz) est nie, d'où une contradiction.