FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

16 MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUISSi on est dans le second cas alors le segment ouvert s =]x, y[ de Ω est préservé par γet inclus dans Ω puisque Ω est strictement convexe. Le lemme 3.5 montre que l'élémentγ agit comme une translation sur s et que l'un des points x, y est attractif pour l'actionde γ sur s et l'autre est répulsif. On note p + l'attractif et p − le répulsif. Le lemme 3.10montre que (γ n ) n∈N converge uniformément sur les compacts de Ω vers p + , et la suite(γ −n ) n∈N converge uniformément sur les compacts de Ω vers p − . Montrons la convergencesur les compacts de Ω {p − }. On se donne un compact K de Ω {p − } et on choisit unhyperplan H de Ω qui sépare p − de K. Les convexes γ n (H) ∩ Ω convergent vers p + etdonc K aussi. On procède de la même façon avec p − .Il nous reste à montrer qu'un tel élément est hyperbolique. Pour cela, on va montrer quepour tout b ∈ Ω s, et pour tout point a ∈ s, d Ω (b, γb) > d Ω (a, γa). Sur le segmentouvert s, l'élément γ agit comme une translation, la quantité d Ω (a, γa) ne dépend doncpas du point a ∈ s. On note H + (resp. H − ) l'hyperplan tangent à ∂Ω en p + (resp.p − ). Soit H b l'hyperplan passant par H + ∩ H − et le point b. On note a l'unique pointde l'intersection H b ∩ s. La distance de Hilbert est dénie à l'aide de birapports et parconséquent on a : d Ω (a, γ(a)) = 1 2 ln([H− : H b : γ(H b ) : H + ]). De plus, comme l'ouvertΩ est strictement convexe, on a [H − : H b : γ(H b ) : H + ] < [q b : b : γ(b) : p b ], où q b , p bsont les points d'intersections de la droite (b γ(b)) avec ∂Ω, tels que γ(b) soit entre b etp b (voir gure 6). L'inmum de la distance de translation de γ est donc atteint par toutpoint de s et seulement par les points de s. En particulier, l'automorphisme γ n'est pasquasi-hyperbolique.Figure 6.L'automorphisme γ est hyperboliqueEnn, si l'automorphisme γ xe un et un seul point p de ∂Ω, le lemme 3.11 montre quepour tout point x ∈ Ω, le seul point d'accumulation de la bi-suite (γ n x) n∈Z est l'uniquepoint xe de γ. Par conséquent d'après le lemme 3.10, la bi-suite (γ n x) n∈Z converge versp uniformément sur les compacts de Ω. Un raisonnement analogue au précédent montreque la convergence a lieu sur les compacts de Ω {p}.Montrons maintenant que τ(γ) = 0. Pour cela, on se donne un point x ∈ Ω et une suite(x n ) n∈N de points de la demi-droite [xp[ qui converge vers p. La suite de points (γx n ) n∈Nest donc sur la demi-droite [γx p[ et converge vers p. La suite des droites (x n γx n ) convergevers la droite intersection du plan projectif engendré par p, x, γx et de l'hyperplan tangent