48 MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUISLemme 8.5. Soit Γ un sous-groupe discret et sans torsion de Aut(Ω). Si un fermé Fde la partie épaisse de Ω/ Γ est de volume ni alors il est compact.Démonstration. Par dénition de la partie épaisse Ω ε (et car le groupe Γ est sanstorsion), si un point x de Ω est dans Ω ε alors la boule B(x, ε) s'injecte par projection dansΩ/ Γ . Le lemme 8.4 montre que la boule B(x, ε) a un volume minoré par une constantestrictement positive indépendante de x. Par conséquent, on ne peut pas trouver plus deVol(F)/v n (ε) boules disjointes incluses dans F. Soient B(x 1 , ε), ..., B(x k , ε) un ensemblemaximal de boules disjointes incluses dans F. Par maximalité, la réunion nie des boulesB(x 1 , 2ε), ..., B(x k , 2ε) recouvre F. L'ensemble F est donc compact.8.4. Cas particuliers. La notion de nitude géométrique regroupe, comme on va levoir, des situations un peu diérentes, selon que le quotient est de volume ni ou inni,selon que le c÷ur convexe est compact ou pas.8.4.1. Cas convexe-cocompact. Lorsque le c÷ur convexe du quotient M = Ω/ Γ de Ωpar le sous-groupe discret Γ de Aut(Ω) est compact, on dit que l'action de Γ sur Ω estconvexe-cocompacte ou que le quotient M lui-même est convexe-cocompact. Le corollairesuivant arme que ces groupes sont exactement ceux dont l'action est géométriquementnie sur Ω et qui ne contiennent pas de paraboliques.Corollaire 8.6. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). L'action de Γ sur Ω estconvexe-cocompacte si et seulement si tout point de l'ensemble limite Λ Γ est un pointlimite conique.Démonstration. Si l'action de Γ sur Ω est convexe-cocompacte alors tout point del'ensemble limite est un point limite conique (remarque 5.9).Inversement, si tout point de l'ensemble limite est un point limite conique, alors Γ agit pardénition de façon géométriquement nie sur Ω. Mais dans ce cas, la partie non cuspidaledu c÷ur convexe de M est le c÷ur convexe de M tout entier. Le théorème 8.1 montrequ'alors le c÷ur convexe de M est compact.8.4.2. Action de covolume ni. Nous obtenons ici la caractérisation suivante des actionsde covolume ni.Corollaire 8.7. Soit Γ un sous-groupe discret de type ni de Aut(Ω). L'action de Γsur Ω est de covolume ni si et seulement si l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquementnie et Λ Γ = ∂Ω.Démonstration. Si Λ Γ = ∂Ω, alors C(Λ Γ ) = Ω et le c÷ur convexe de Ω/ Γ est Ω/ Γ toutentier. Si l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquement nie, comme Λ Γ = ∂Ω, elle est en faitgéométriquement nie sur Ω. Le théorème 8.1 montre alors que Ω/ Γ est de volume ni.Comme le groupe Γ est de type ni, le lemme de Selberg montre qu'on peut supposer quele groupe Γ est sans torsion. Par conséquent, le lemme 8.5 montre que la partie épaissede Ω/ Γ est compacte. Par conséquent, tout point de ∂Ω est un point limite conique ou unpoint parabolique et tout point parabolique est borné et de rang maximal. C'est ce qu'ilfallait démontrer.Corollaire 8.8. Soit Γ un sous-groupe discret de type ni de Aut(Ω). L'action de Γsur Ω est de covolume ni si et seulement si l'action de Γ ∗ sur Ω ∗ est de covolume ni.
<strong>FINITU<strong>DE</strong></strong> <strong>GÉOMÉTRIQUE</strong> <strong>EN</strong> <strong>GÉOMÉTRIE</strong> <strong>DE</strong> <strong>HILBERT</strong> 49Démonstration. Le corollaire 8.7 montre que si l'action de Γ sur Ω est de covolumeni alors l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquement nie et Λ Γ = ∂Ω. La proposition5.14 montre qu'alors l'action de Γ sur ∂Ω ∗ est géométriquement nie et Λ Γ ∗ = ∂Ω ∗ . Lecorollaire 8.7 montre enn que l'action de Γ ∗ sur Ω ∗ est de covolume ni.9. Hyperbolicité au sens de Gromov9.1. Gromov-hyperbolicité de (C(Λ Γ ), d Ω ). Le but de cette partie est de montrerle résultat suivant.Théorème 9.1. Soient Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). L'action de Γ sur Ω estgéométriquement nie sur Ω si et seulement si elle est géométriquement nie sur ∂Ω etl'espace (C(Λ Γ ), d Ω ) est Gromov-hyperbolique.Ce théorème sera conséquence des deux lemmes qui suivent :Lemme 9.2. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Si l'espace métrique (C(Λ Γ ), d Ω )est Gromov-hyperbolique, alors tout point parabolique borné est uniformément borné.Démonstration. Supposons l'espace métrique (C(Λ Γ ), d Ω ) Gromov-hyperbolique etchoisissons un point parabolique borné p ∈ Λ Γ .Fixons une horosphère H basée en p et notons (pΛ Γ ) = {y ∈ (xp) | x ∈ Λ Γ {p}} (voirgure 18). Comme le point p est un point parabolique borné, le groupe Stab Γ (p) agit defaçon cocompacte sur H ∩ (pΛ Γ ).Figure 18. L'ensemble (pΛ Γ )On peut identier l'espace des droites D p (C(Λ Γ )) à sa trace sur l'horosphère H. Onva voir que H ∩ C(Λ Γ ) est dans un voisinage borné de H ∩ (pΛ Γ ), ce qui permettra deconclure que le groupe Stab Γ (p) agit de façon cocompacte sur H ∩ C(Λ Γ ) et donc aussisur D p (C(Λ Γ )) (l'adhérence est prise respectivement dans Ω et dans Ap n−1 ).
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