FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 35Par conséquent, la droite attractive de γ n'est pas incluse dans F, et le convexe Ω estde classe C 2 à hessien déni positif. En eet, le théorème 7.4 appliqué à l'action de U surl'espace ane P n H montre que l'ensemble ∂Ω {p} est Zariski-fermé ; il est lisse car legroupe algébrique U agit transitivement sur ce dernier. L'ensemble ∂Ω est la complétionalgébrique de ∂Ω {p} dans P n , c'est une sous-variété de classe C 2 : le point p est declasse C 2 puisque dans la direction de F c'est un ellipsoïde, et dans la direction donnéepar la droite attractive de γ, c'est une courbe algébrique convexe lisse (lemme 7.10). Dela même façon, le bord du convexe dual Ω ∗ est aussi de classe C 2 et donc ∂Ω est à hessiendéni positif. C'est ce qu'il fallait montrer.Théorème 7.13 (Socié-Méthou [SM02]). Un ouvert proprement convexe de P ndont le bord est de classe C 2 à hessien déni positif et le groupe d'automorphisme est noncompact est un ellipsoïde.On peut à présent se lancer dans l'étude des sous-groupes paraboliques uniformémentbornés. Commençons par traiter le cas des7.2.2. Sous-groupes paraboliques de rang maximal. Le lemme précédent va permettred'obtenir le théorème suivant.Théorème 7.14. Soit P un sous-groupe parabolique discret de Aut(Ω) xant p. Si legroupe P est de rang maximal, alors il préserve des ellipsoïdes E int et E ext tels que ∂E int ∩ ∂E ext = ∂E int ∩ ∂Ω = ∂E ext ∩ ∂Ω = {p} ; E int ⊂ Ω ⊂ E ext ; E int est une horoboule de l'espace hyperbolique (E ext , d E ext).En particulier, le groupe P est conjugué dans SL n+1 (R) à un sous-groupe parabolique deSO n,1 (R).Figure 14. Ω coincé !Démonstration. Soient N l'adhérence de Zariski de P dans SL n+1 (R) et U = U(N ) lesous-groupe des éléments unipotents de N . Le lemme 7.6 montre que le groupe P est unréseau cocompact de N et que l'action de U sur Apn−1 est simplement transitive.Soient H l'hyperplan tangent à ∂Ω en p et x ∈ P n H. D'après le théorème 7.4 appliqué