FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

48 MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUISLemme 8.5. Soit Γ un sous-groupe discret et sans torsion de Aut(Ω). Si un fermé Fde la partie épaisse de Ω/ Γ est de volume ni alors il est compact.Démonstration. Par dénition de la partie épaisse Ω ε (et car le groupe Γ est sanstorsion), si un point x de Ω est dans Ω ε alors la boule B(x, ε) s'injecte par projection dansΩ/ Γ . Le lemme 8.4 montre que la boule B(x, ε) a un volume minoré par une constantestrictement positive indépendante de x. Par conséquent, on ne peut pas trouver plus deVol(F)/v n (ε) boules disjointes incluses dans F. Soient B(x 1 , ε), ..., B(x k , ε) un ensemblemaximal de boules disjointes incluses dans F. Par maximalité, la réunion nie des boulesB(x 1 , 2ε), ..., B(x k , 2ε) recouvre F. L'ensemble F est donc compact.8.4. Cas particuliers. La notion de nitude géométrique regroupe, comme on va levoir, des situations un peu diérentes, selon que le quotient est de volume ni ou inni,selon que le c÷ur convexe est compact ou pas.8.4.1. Cas convexe-cocompact. Lorsque le c÷ur convexe du quotient M = Ω/ Γ de Ωpar le sous-groupe discret Γ de Aut(Ω) est compact, on dit que l'action de Γ sur Ω estconvexe-cocompacte ou que le quotient M lui-même est convexe-cocompact. Le corollairesuivant arme que ces groupes sont exactement ceux dont l'action est géométriquementnie sur Ω et qui ne contiennent pas de paraboliques.Corollaire 8.6. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). L'action de Γ sur Ω estconvexe-cocompacte si et seulement si tout point de l'ensemble limite Λ Γ est un pointlimite conique.Démonstration. Si l'action de Γ sur Ω est convexe-cocompacte alors tout point del'ensemble limite est un point limite conique (remarque 5.9).Inversement, si tout point de l'ensemble limite est un point limite conique, alors Γ agit pardénition de façon géométriquement nie sur Ω. Mais dans ce cas, la partie non cuspidaledu c÷ur convexe de M est le c÷ur convexe de M tout entier. Le théorème 8.1 montrequ'alors le c÷ur convexe de M est compact.8.4.2. Action de covolume ni. Nous obtenons ici la caractérisation suivante des actionsde covolume ni.Corollaire 8.7. Soit Γ un sous-groupe discret de type ni de Aut(Ω). L'action de Γsur Ω est de covolume ni si et seulement si l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquementnie et Λ Γ = ∂Ω.Démonstration. Si Λ Γ = ∂Ω, alors C(Λ Γ ) = Ω et le c÷ur convexe de Ω/ Γ est Ω/ Γ toutentier. Si l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquement nie, comme Λ Γ = ∂Ω, elle est en faitgéométriquement nie sur Ω. Le théorème 8.1 montre alors que Ω/ Γ est de volume ni.Comme le groupe Γ est de type ni, le lemme de Selberg montre qu'on peut supposer quele groupe Γ est sans torsion. Par conséquent, le lemme 8.5 montre que la partie épaissede Ω/ Γ est compacte. Par conséquent, tout point de ∂Ω est un point limite conique ou unpoint parabolique et tout point parabolique est borné et de rang maximal. C'est ce qu'ilfallait démontrer.Corollaire 8.8. Soit Γ un sous-groupe discret de type ni de Aut(Ω). L'action de Γsur Ω est de covolume ni si et seulement si l'action de Γ ∗ sur Ω ∗ est de covolume ni.