FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

52 MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUIShyperbolique, dont la taille est nécessairement bornée. D'où une contradiction avecl'hypothèse δ n → +∞.Comme corollaire de la proposition 9.1, on peut énoncer le résultat suivant dans le casd'une géométrie de Hilbert Gromov-hyperbolique.Corollaire 9.5. Pour une géométrie de Hilbert Gromov-hyperbolique, les notions denitude géométrique sur Ω et sur ∂Ω sont équivalentes.Notons enn un autre corollaire dans le cas d'une action de covolume ni.Corollaire 9.6. Si l'ouvert convexe Ω admet un quotient de volume ni, alors l'espacemétrique (Ω, d Ω ) est Gromov-hyperbolique.9.2. Gromov-hyperbolicité du groupe Γ. Rappelons qu'un groupe de type niest Gromov-hyperbolique si son graphe de Cayley, muni de la métrique des mots, l'est.De façon plus générale, nous prendrons la dénition suivante de groupe relativementhyperbolique :Dénition 9.7. Soient Γ un groupe et (P i ) i une famille de sous-groupes de type nide Γ. On dit que le groupe Γ est relativement hyperbolique relativement aux groupes (P i ) ilorsqu'il existe un espace Gromov-hyperbolique propre X et une action géométriquementnie de Γ sur X (au sens de la dénition 5.11) telle que le stabilisateur de tout pointparabolique de Λ Γ est conjugué à l'un des groupes (P i ) i .Les résultats de la partie précédente permettent donc d'armer le fait suivant.Proposition 9.8. Si Γ est un sous-groupe discret de Aut(Ω) agissant de façongéométriquement nie sur Ω, alors le groupe Γ est relativement hyperbolique relativementà ses sous-groupes paraboliques maximaux.En fait, on peut changer l'hypothèse d'action géométriquement nie sur Ω en actiongéométriquement nie sur ∂Ω via le travail d'Asli Yaman. Elle a montré le théorèmesuivant qui donne une caractérisation topologique des groupes relativement hyperboliques(dans [Yam04]).Théorème 9.9 (Yaman [Yam04]). Soient M un compact parfait non vide et métrisable, et Γ un groupe. Supposons que le groupe Γ agit par une action de convergence surM tel que tout point de M est un point limite conique ou un point parabolique borné, quel'ensemble des points paraboliques modulo l'action de Γ est ni et que les stabilisateursdes points paraboliques sont de type ni. Alors le groupe Γ est relativement hyperboliquerelativement aux stabilisateurs de ses points paraboliques.On obtient alors le résultat a priori plus satisfaisant :Proposition 9.10. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω) agissant de façongéométriquement nie sur ∂Ω. Alors le groupe Γ est relativement hyperbolique relativementà ses sous-groupes paraboliques maximaux.