FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 47ni ou la dimension est inférieure ou égale à 3. On notera qu'Emily Hamilton [Ham98]a construit un sous-groupe Γ 0 de SO 4,1 (R) tel que le 1-voisinage du c÷ur convexe est devolume ni mais tel que le groupe Γ 0 n'est pas de type ni et par suite l'action de Γ 0n'est pas géométriquement nie sur H 4 .Pour prouver l'équivalence, nous utiliserons le fait que l'on peut minorer de façon uniformele volume des boules de rayon r > 0 d'une géométrie de Hilbert :Lemme 8.4 (Colbois - Vernicos Théorème 12 de [CV06])Pour tout n 1 et tout r > 0, il existe une constante v n (r) > 0 tel que pour tout ouvertproprement convexe Ω de P n , pour tout point x de Ω, on aVol Ω (B Ω (x, r)) v n (r) > 0.Bruno Colbois et Constantin Vernicos ont obtenu une inégalité quantitative dépendantdu rayon r des boules. Si l'on veut simplement une inégalité qualitative alors il s'agitd'une simple conséquence du théorème de Benzécri :Démonstration. Soit r > 0 une constante. On rappelle la dénition de l'espace desconvexes marqués X • :X • = {(Ω, x) | Ω est un ouvert proprement convexe de P n et x ∈ Ω}La fonction f qui a un point (Ω, x) de X • associe le volume de la boule de (Ω, d Ω ) decentre x et de rayon r est continue, strictement positive, et SL n+1 (R)-invariante. Or, lethéorème de Benzécri 2.2 montre que l'action de SL n+1 (R) sur l'espace X • est propre etcocompacte. La fonction f est donc minorée par une constante strictement positive.Nous pouvons maintenant donner une :Preuve de (GF)⇔(VF). ⇒ La remarque 8.3 et l'implication (GF)⇒(TF) montrentque le c÷ur convexe de Ω/ Γ se décompose en⊔ (C(M) = (C(M)) ncε ⊔ki=1 H pi ∩ C(Λ Γ ) Ω) / Ppi,avec la partie non cuspidale (C(M)) ncε compacte.D'après le corollaire 7.18, il existe pour chaque point p i , une coupe Ω pi (i.e l'intersectionde Ω avec un sous-espace projectif) de Ω de dimension d + 1 2, contenant p i dans sonbord, et deux ellipsoïdes tangents à ∂Ω pi en p i qui encadrent Ω. En particulier, le bordest de classe C 1,1 en p i : le bord est de classe C 1 et sa diérentielle est Lipschitz. On∂Ω pipeut ( donc appliquer la proposition A.1 de l'annexe à Ω, qui montre que chaque partieH pi ∩ C(Λ Γ ) Ω) / Ppiest de volume ni.Pour nir, la décomposition précédente montre que le c÷ur convexe se rétracte sur sapartie non cuspidale. Le quotient Ω/ Γ est donc une orbifold sage ; par conséquent, legroupe Γ est de type ni et même de présentation nie.⇐ Comme le groupe Γ est de type ni, le lemme de Selberg arme que, quitte àprendre un sous-groupe d'indice ni, on peut supposer que le groupe Γ est sans torsion.Le lemme 8.5 qui suit, appliqué à la partie épaisse du c÷ur convexe, implique que celleciest compacte, soit l'hypothèse (PEC) dont on a vu précédemment qu'elle impliquait(GF).