FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

26 MICKAËL CRAMPON & LUDOVIC MARQUISMontrons à présent que cette condition est nécessaire.Il existe un point x 0 ∈ Ω et une suite (γ n ) n∈N d'éléments de Γ tel que γ n · x 0 → x etn→∞d Ω (γ n · x 0 , [x 0 , x[) est majorée par une constante C > 0 indépendamment de n. On poseδ n = γn−1 , on note D la droite passant par x 0 et x, enn on note q le point d'intersection deD avec ∂Ω qui n'est pas x. Les droites δ n (D) forment une famille de droites qui rencontrela boule fermée de centre x 0 et de rayon C. On peut donc supposer quitte à extraire queces droites convergent vers une droite (ab), où les points a, b ∈ ∂Ω et a ≠ b. On en déduitque δ n · x → a et δ n · q → b.n→∞ n→∞Il vient que pour tout point y ∈ [x 0 , x[, on a δ n·y → b. Il n'est pas dicile d'en déduiren→∞alors que pour tout y ∈ Ω, si y ≠ x alors δ n · y → b car le point b est extrémal.n→∞5.3. Action géométriquement nie sur Ω et ∂Ω. On trouve la dénition suivante,que ce soit en géométrie hyperbolique ou pour un espace Gromov-hyperbolique :Dénition 5.11. Soient X un espace Gromov-hyperbolique et Γ un sous-groupe discretd'isométries de X. L'action de Γ sur X est dite géométriquement nie lorsque toutpoint de l'ensemble limite Λ Γ est un point limite conique ou un point parabolique borné.En dépit des ressemblances, il s'avère que cette dénition ne va pas convenir dans notrecadre. Bien sûr, elle convient lorsque la géométrie de Hilbert est Gromov-hyperboliquemais nos hypothèses sur le convexe sont bien plus faibles. En géométrie hyperbolique, lanitude géométrique admet des dénitions équivalentes de nature plus géométriques, quijustient l'appelation géométriquement ni. Ces dernières font sens dans notre contextemais ne sont plus équivalentes à la précédente, sinon à une version plus forte, qui demandeplus aux points paraboliques bornés. C'est ce que nous introduisons maintenant.Dénition 5.12. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Un point x ∈ Λ Γ est unpoint parabolique uniformément borné si l'action du groupe Stab Γ (x) sur D p (C(Λ Γ {x}))est cocompacte.On peut donner alors la dénition suivante :Dénition 5.13. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). L'action de Γ sur ∂Ω (resp.Ω) est dite géométriquement nie lorsque tout point de l'ensemble limite est un point limiteconique ou un point parabolique borné (resp. uniformément borné). On dira que lequotient M = Ω/ Γ est géométriquement ni lorsque l'action de Γ sur Ω est géométriquementnie.Ceci introduit deux notions diérentes a priori : la nitude géométrique de l'actionde Γ sur ∂Ω et la nitude géométrique de l'action de Γ sur Ω. On verra que ces deuxnotions sont eectivement diérentes et que cela n'a rien d'évident. On essaiera aussi dedire quand elles coïncident. C'est l'objet de la dernière partie.La dénition traditionnelle de nitude géométrique est donc celle dont on précise iciqu'elle est sur ∂Ω. Comme on le verra dans la partie 8, celle qui porte sur Ω admet desdénitions équivalentes concernant la géométrie du quotient Ω/ Γ . Lorsque l'action de Γest géométriquement nie sur ∂Ω mais pas sur Ω, le quotient Ω/ Γ ne jouit par conséquent