Dispensa I - Università degli Studi di Pavia

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G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 16 di 64 Il generatore di corrente può prendersi qualunque tensione, ma impone la corrente. Disattivarne uno vorrebbe dire permettere qualunque tensione, ma nessuna corrente: quindi un circuito aperto. Disattivando prima l'uno e poi l'altro si avranno: V V ( 1) ( 2) = RA 1 = RA 2 [2.20] e la somma di queste due tensioni coincide con la tensione presente quando sono entrambi attivati. Anche qui si può considerare la situazione effettiva come somma, o meglio sovrapposizione degli effetti, a condizione che in ciascun singolo effetto il generatore spento sia sostituito con un circuito aperto. Si noti che in entrambi i casi la sovrapposizione è possibile se la rete è lineare e i generatori ideali, cioè se il valore della resistenza non dipende dalla corrente in transito o dalla tensione applicata, e così pure le tensioni generate non risentano delle correnti in transito e le correnti generate non risentano delle tensioni applicate. Se la rete elettrica fosse anche più complessa, le cose non cambierebbero. Risolvendo la rete in forma simbolica, si noterebbe che ogni tensione nodale e ogni corrente di lato è una funzione lineare delle tensioni o delle correnti dei generatori. Quindi si enuncia il principio di sovrapposizione degli effetti: In una rete lineare e con generatori ideali è possibile applicare la sovrapposizione degli effetti, vale a dire: la tensione in ogni nodo è la somma delle tensioni e la corrente in ogni lato è la somma delle correnti che si ottengono attivando volta per volta solo uno o una parte dei generatori, fino a considerarli tutti una e una sola volta, e lasciando spenti tutti gli altri, lasciandoli cioè in cortocircuito se generatori di tensione e in circuito aperto se generatori di corrente. La rete con tutti i generatori posti in queste condizioni può essere definita rete passiva. Dal principio di sovrapposizione degli effetti discende che: se in una rete viene acceso un nuovo generatore o ne viene spento uno esistente, non occorre risolvere da capo la rete ma basta aggiungere o togliere alla soluzione preesistente il nuovo effetto, calcolato sulla rete passiva. 2.5 - I teoremi di Thevenin e di Norton Si considerino ancora gli esempi precedentemente riportati in questo capitolo. Si nota che la caratteristica è data dalla somma di due termini: uno costante, e uno lineare. Se si considera il generatore di tensione in serie alla resistenza, si nota anche che il termine costante corrisponde alla tensione a vuoto, cioè a quella tensione che si presenta ai capi dei morsetti quando questi non sono richiusi su nessun altro circuito e quindi non scorre corrente. Il termine lineare invece è pari alla caratteristica che si presenta disattivando il generatore, ponendolo cioè in cto cto: è la caratteristica della rete passiva, in questo caso molto semplice. Se si considera l'altro esempio, riscrivibile in questa forma: V I = A + = A + GV [2.21] R si nota che il termine costante è pari alla corrente che si avrebbe quando i due morsetti sono posti in cto cto, cioè quando questi sono richiusi con un collegamento privo di resistenza: in queste condizioni non c'è tensione sui morsetti e quindi neppure corrente nella resistenza. Il termine lineare invece è pari alla caratteristica che si presenta disattivando il generatore, cioè trasformandolo in un circuito aperto: è la caratteristica della rete passiva, in questo caso molto semplice. Si può dimostrare, utilizzando la linearità della rete, l'idealità dei generatori, il principio di sovrapposizione degli effetti, che le stesse regole valgono anche quando la rete sia più complessa, presenti anche più generatori e una magliatura articolata di resistenze: e cioè che, vedendo le cose da due morsetti della rete e considerandola da lì come unico bipolo, la caratteristica di una rete lineare qualunque è sempre data dalla somma di un termine costante, pari alla tensione a vuoto che si ottiene lasciando i due morsetti a vuoto, oppure pari alla corrente che si ottiene ponendo i due morsetti in cto cto, e un termine lineare, con la stessa caratteristica della rete passiva vista dai due morsetti. Si enunciano allora: Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
G. Pasini Corso di Impianti Elettrici Industriali 1A - Richiami di elettrotecnica p. 17 di 64 Teorema di Thevenin: Una qualunque rete lineare vista da due suoi nodi può essere sostituita con una rete equivalente costituita da: un generatore ideale di tensione che eroga la tensione a vuoto tra i due nodi, in serie con una resistenza di valore pari alla resistenza di tutta la rete in questione, passiva, vista degli stessi due nodi. Teorema di Norton Una qualunque rete lineare vista da due suoi nodi può essere sostituita con una rete equivalente costituita da: un generatore ideale di corrente che eroga la corrente di cto cto tra i due nodi, in parallelo con una conduttanza di valore pari alla conduttanza di tutta la rete in questione, passiva, vista degli stessi due nodi. Per "resistenza (conduttanza) di valore pari alla resistenza (conduttanza) di tutta la rete passiva vista dai due nodi" si intende questo: per la rete passiva si può scrivere un'equazione corrispondente alla caratteristica vista dai due nodi, cioè alla relazione che lega V ed I nei due nodi. Questa caratteristica passa per l'origine, essendo la rete passiva, ed è una retta, essendo la rete lineare. Quindi il coefficiente angolare della relazione V − I è pari alla resistenza da porre nell'equivalente di Thevenin e il suo reciproco alla conduttanza da porre nell'equivalente di Norton. In generale tale equazione caratteristica potrebbe essere trovata in questo modo: si pone una prima tensione di tentativo tra i due nodi e si misura la corrente (o si risolve la rete con questa forzante); si pone una seconda tensione di tentativo e si misura ancora la corrente (o si risolve ancora). Si sono così ottenuti due punti della caratteristica. Ma essendo questa una retta, ecco che con due punti tale retta è definita. Meglio ancora poiché è noto a priori che la retta passa per l'origine, basta misurare e risolvere una sola volta, perché un punto è sufficiente a determinare la retta. Solitamente però il problema può essere risolto in maniera più diretta: spesso le reti passive sono riducibili gradualmente, attraverso riduzioni successive tipo serie o parallelo: dapprima tutti i gruppi di resistenze in serie vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti serie e tutti i gruppi di resistenze in parallelo vengono sostituiti con le rispettive resistenze equivalenti parallelo; la nuova rete così ridotta può ancora presentare altre serie o altri paralleli, che vengono ancora ridotti, e così via. 2.6 - Le conversioni stella-triangolo e triangolo-stella Nella riduzione di una rete si possono incontrare delle configurazioni di questo tipo: A figura 2.1 che non sono riducibili medianti normali riduzioni tipo serie o tipo parallelo. B Esistono cioè due configurazioni particolari, che si presentano fra tre nodi, con un eventuale quarto nodo in posizione centrale. Queste configurazioni sono: la configurazione a stella e quella a triangolo. Indicando con A, B, C i tre nodi e con H il quarto: - la configurazione a stella si ha quando ciascuno nodo A, B, C è collegato al nodo H, detto centro-stella; - la configurazione a triangolo si ha quando (non esiste H) si hanno i collegamenti A-B, B-C, C-A, come i lati di un triangolo. Una configurazione a stella può essere trasformata in una equivalente a triangolo, e viceversa. Versione 1.00 - ottobre 2010 A.A. 2010-2011
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